Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113649 / 19279
↖ ↑ ↗
← N 77.571095°
E132.146301°		 ← 65.74 m → N 77.571095°
E132.149048°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.570504°
E132.146301°		 ← 65.74 m →
4 318 m²		 N 77.570504°
E132.149048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867076873779297 y=0.147090911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867076873779297 × 217)
    floor (0.867076873779297 × 131072)
    floor (113649.5)     		tx = 113649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147090911865234 × 217)
    floor (0.147090911865234 × 131072)
    floor (19279.5)     		ty = 19279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113649 / 19279 ti = "17/113649/19279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113649/19279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113649 ÷ 217
    113649 ÷ 131072     		x = 0.867073059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19279 ÷ 217
    19279 ÷ 131072     		y = 0.147087097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867073059082031 × 2 - 1) × π
    0.734146118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.30638805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147087097167969 × 2 - 1) × π
    0.705825805664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21741716572494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30638805} λ = 2.30638805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21741716572494))-π/2
    2×atan(9.18358054091995)-π/2
    2×1.46233367063698-π/2
    2.92466734127396-1.57079632675     		φ = 1.35387101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30638805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.146301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35387101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.571095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113649 KachelY 19279 2.30638805 1.35387101 132.146301 77.571095
    Oben rechts KachelX + 1 113650 KachelY 19279 2.30643599 1.35387101 132.149048 77.571095
    Unten links KachelX 113649 KachelY + 1 19280 2.30638805 1.35386070 132.146301 77.570504
    Unten rechts KachelX + 1 113650 KachelY + 1 19280 2.30643599 1.35386070 132.149048 77.570504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35387101-1.35386070) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35387101-1.35386070) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30638805-2.30643599) × cos(1.35387101) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.215228020775901 × 6371000     		do = 65.7361775147808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30638805-2.30643599) × cos(1.35386070) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.21523808913747 × 6371000     		du = 65.7392526515637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35387101)-sin(1.35386070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215228020775901-0.21523808913747)×R²
    abs(2.30643599-2.30638805)×1.00683615689989e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.00683615689989e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.00683615689989e-05×40589641000000     		ar = 4317.98247265911m²