Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113644 / 19380
↖ ↑ ↗
← N 77.511248°
E132.132569°		 ← 66.03 m → N 77.511248°
E132.135315°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.510655°
E132.132569°		 ← 66.04 m →
4 359 m²		 N 77.510655°
E132.135315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867038726806641 y=0.147861480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867038726806641 × 217)
    floor (0.867038726806641 × 131072)
    floor (113644.5)     		tx = 113644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147861480712891 × 217)
    floor (0.147861480712891 × 131072)
    floor (19380.5)     		ty = 19380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113644 / 19380 ti = "17/113644/19380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113644/19380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113644 ÷ 217
    113644 ÷ 131072     		x = 0.867034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19380 ÷ 217
    19380 ÷ 131072     		y = 0.147857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867034912109375 × 2 - 1) × π
    0.73406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30614837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147857666015625 × 2 - 1) × π
    0.70428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21257553886331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30614837} λ = 2.30614837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21257553886331))-π/2
    2×atan(9.13922453494915)-π/2
    2×1.46181141016685-π/2
    2.9236228203337-1.57079632675     		φ = 1.35282649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30614837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.132569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35282649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.511248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113644 KachelY 19380 2.30614837 1.35282649 132.132569 77.511248
    Oben rechts KachelX + 1 113645 KachelY 19380 2.30619630 1.35282649 132.135315 77.511248
    Unten links KachelX 113644 KachelY + 1 19381 2.30614837 1.35281613 132.132569 77.510655
    Unten rechts KachelX + 1 113645 KachelY + 1 19381 2.30619630 1.35281613 132.135315 77.510655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35282649-1.35281613) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35282649-1.35281613) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30614837-2.30619630) × cos(1.35282649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216247943624869 × 6371000     		do = 66.033911048656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30614837-2.30619630) × cos(1.35281613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216258058479913 × 6371000     		du = 66.0369997413255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35282649)-sin(1.35281613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216247943624869-0.216258058479913)×R²
    abs(2.30619630-2.30614837)×1.01148550443741e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01148550443741e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01148550443741e-05×40589641000000     		ar = 4358.57514243849m²