Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11364 / 23767
↖ ↑ ↗
← S 62.709425°
W 55.151367°		 ← 560.10 m → S 62.709425°
W 55.140381°		 →
↑
560.07 m
↓
↑
560.07 m
↓
S 62.714462°
W 55.151367°		 ← 560 m →
313 669 m²		 S 62.714462°
W 55.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346817016601562 y=0.725326538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346817016601562 × 215)
    floor (0.346817016601562 × 32768)
    floor (11364.5)     		tx = 11364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725326538085938 × 215)
    floor (0.725326538085938 × 32768)
    floor (23767.5)     		ty = 23767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11364 / 23767 ti = "15/11364/23767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11364/23767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11364 ÷ 215
    11364 ÷ 32768     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23767 ÷ 215
    23767 ÷ 32768     		y = 0.725311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4156725195795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4156725195795))-π/2
    2×atan(0.242762296140536)-π/2
    2×0.238155191977309-π/2
    0.476310383954617-1.57079632675     		φ = -1.09448594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09448594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.709425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11364 KachelY 23767 -0.96257294 -1.09448594 -55.151367 -62.709425
    Oben rechts KachelX + 1 11365 KachelY 23767 -0.96238120 -1.09448594 -55.140381 -62.709425
    Unten links KachelX 11364 KachelY + 1 23768 -0.96257294 -1.09457385 -55.151367 -62.714462
    Unten rechts KachelX + 1 11365 KachelY + 1 23768 -0.96238120 -1.09457385 -55.140381 -62.714462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09448594--1.09457385) × R
    8.79099999999688e-05 × 6371000     		dl = 560.074609999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09448594--1.09457385) × R
    8.79099999999688e-05 × 6371000     		dr = 560.074609999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96238120) × cos(-1.09448594) × R
    0.000191739999999996 × 0.458503371633705 × 6371000     		do = 560.096503795251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96238120) × cos(-1.09457385) × R
    0.000191739999999996 × 0.458425244889664 × 6371000     		du = 560.001066075711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09448594)-sin(-1.09457385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458503371633705-0.458425244889664)×R²
    abs(-0.96238120--0.96257294)×7.81267440409517e-05×R²
    0.000191739999999996×7.81267440409517e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.81267440409517e-05×40589641000000     		ar = 313669.105005222m²