Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11364 / 23752
↖ ↑ ↗
← S 62.633769°
W 55.151367°		 ← 561.53 m → S 62.633769°
W 55.140381°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
S 62.638820°
W 55.151367°		 ← 561.43 m →
315 294 m²		 S 62.638820°
W 55.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346817016601562 y=0.724868774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346817016601562 × 215)
    floor (0.346817016601562 × 32768)
    floor (11364.5)     		tx = 11364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724868774414062 × 215)
    floor (0.724868774414062 × 32768)
    floor (23752.5)     		ty = 23752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11364 / 23752 ti = "15/11364/23752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11364/23752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11364 ÷ 215
    11364 ÷ 32768     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23752 ÷ 215
    23752 ÷ 32768     		y = 0.724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41279630560229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41279630560229))-π/2
    2×atan(0.243461537551748)-π/2
    2×0.238815412110301-π/2
    0.477630824220602-1.57079632675     		φ = -1.09316550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09316550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.633769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11364 KachelY 23752 -0.96257294 -1.09316550 -55.151367 -62.633769
    Oben rechts KachelX + 1 11365 KachelY 23752 -0.96238120 -1.09316550 -55.140381 -62.633769
    Unten links KachelX 11364 KachelY + 1 23753 -0.96257294 -1.09325364 -55.151367 -62.638820
    Unten rechts KachelX + 1 11365 KachelY + 1 23753 -0.96238120 -1.09325364 -55.140381 -62.638820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09316550--1.09325364) × R
    8.81399999999033e-05 × 6371000     		dl = 561.539939999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09316550--1.09325364) × R
    8.81399999999033e-05 × 6371000     		dr = 561.539939999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96238120) × cos(-1.09316550) × R
    0.000191739999999996 × 0.459676436924847 × 6371000     		do = 561.529491661733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96238120) × cos(-1.09325364) × R
    0.000191739999999996 × 0.459598159198189 × 6371000     		du = 561.433869505521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09316550)-sin(-1.09325364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459676436924847-0.459598159198189)×R²
    abs(-0.96238120--0.96257294)×7.8277726658027e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8277726658027e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8277726658027e-05×40589641000000     		ar = 315294.3894304m²