Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113626 / 19414
↖ ↑ ↗
← N 77.491038°
E132.083130°		 ← 66.15 m → N 77.491038°
E132.085876°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.490444°
E132.083130°		 ← 66.16 m →
4 375 m²		 N 77.490444°
E132.085876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866901397705078 y=0.148120880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866901397705078 × 217)
    floor (0.866901397705078 × 131072)
    floor (113626.5)     		tx = 113626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148120880126953 × 217)
    floor (0.148120880126953 × 131072)
    floor (19414.5)     		ty = 19414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113626 / 19414 ti = "17/113626/19414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113626/19414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113626 ÷ 217
    113626 ÷ 131072     		x = 0.866897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19414 ÷ 217
    19414 ÷ 131072     		y = 0.148117065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866897583007812 × 2 - 1) × π
    0.733795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30528550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148117065429688 × 2 - 1) × π
    0.703765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21094568427623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30528550} λ = 2.30528550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21094568427623))-π/2
    2×atan(9.12434106016305)-π/2
    2×1.4616350435339-π/2
    2.92327008706779-1.57079632675     		φ = 1.35247376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30528550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.083130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35247376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.491038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113626 KachelY 19414 2.30528550 1.35247376 132.083130 77.491038
    Oben rechts KachelX + 1 113627 KachelY 19414 2.30533344 1.35247376 132.085876 77.491038
    Unten links KachelX 113626 KachelY + 1 19415 2.30528550 1.35246338 132.083130 77.490444
    Unten rechts KachelX + 1 113627 KachelY + 1 19415 2.30533344 1.35246338 132.085876 77.490444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35247376-1.35246338) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35247376-1.35246338) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30528550-2.30533344) × cos(1.35247376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216592314037043 × 6371000     		do = 66.152867793033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30528550-2.30533344) × cos(1.35246338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216602447626407 × 6371000     		du = 66.1559628520631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35247376)-sin(1.35246338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216592314037043-0.216602447626407)×R²
    abs(2.30533344-2.30528550)×1.01335893633314e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01335893633314e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01335893633314e-05×40589641000000     		ar = 4374.85631669309m²