Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113626 / 18112
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E132.083130°		 ← 62.24 m → N 78.242436°
E132.085876°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.241877°
E132.083130°		 ← 62.24 m →
3 870 m²		 N 78.241877°
E132.085876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866901397705078 y=0.138187408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866901397705078 × 217)
    floor (0.866901397705078 × 131072)
    floor (113626.5)     		tx = 113626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138187408447266 × 217)
    floor (0.138187408447266 × 131072)
    floor (18112.5)     		ty = 18112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113626 / 18112 ti = "17/113626/18112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113626/18112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113626 ÷ 217
    113626 ÷ 131072     		x = 0.866897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18112 ÷ 217
    18112 ÷ 131072     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866897583007812 × 2 - 1) × π
    0.733795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30528550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30528550} λ = 2.30528550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30528550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.083130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113626 KachelY 18112 2.30528550 1.36558812 132.083130 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 113627 KachelY 18112 2.30533344 1.36558812 132.085876 78.242436
    Unten links KachelX 113626 KachelY + 1 18113 2.30528550 1.36557836 132.083130 78.241877
    Unten rechts KachelX + 1 113627 KachelY + 1 18113 2.30533344 1.36557836 132.085876 78.241877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36557836) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36557836) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30528550-2.30533344) × cos(1.36558812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 62.2369092719988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30528550-2.30533344) × cos(1.36557836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203780557852203 × 6371000     		du = 62.2398276795811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36557836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.203780557852203)×R²
    abs(2.30533344-2.30528550)×9.55521162776529e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.55521162776529e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.55521162776529e-06×40589641000000     		ar = 3870.0415006016m²