Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113625 / 19416
↖ ↑ ↗
← N 77.489848°
E132.080384°		 ← 66.15 m → N 77.489848°
E132.083130°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.489254°
E132.080384°		 ← 66.15 m →
4 374 m²		 N 77.489254°
E132.083130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866893768310547 y=0.148136138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866893768310547 × 217)
    floor (0.866893768310547 × 131072)
    floor (113625.5)     		tx = 113625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148136138916016 × 217)
    floor (0.148136138916016 × 131072)
    floor (19416.5)     		ty = 19416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113625 / 19416 ti = "17/113625/19416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113625/19416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113625 ÷ 217
    113625 ÷ 131072     		x = 0.866889953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19416 ÷ 217
    19416 ÷ 131072     		y = 0.14813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866889953613281 × 2 - 1) × π
    0.733779907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.30523757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14813232421875 × 2 - 1) × π
    0.7037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21084981047699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30523757} λ = 2.30523757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21084981047699))-π/2
    2×atan(9.1234663168532)-π/2
    2×1.46162466028398-π/2
    2.92324932056795-1.57079632675     		φ = 1.35245299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30523757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.080384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35245299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.489848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113625 KachelY 19416 2.30523757 1.35245299 132.080384 77.489848
    Oben rechts KachelX + 1 113626 KachelY 19416 2.30528550 1.35245299 132.083130 77.489848
    Unten links KachelX 113625 KachelY + 1 19417 2.30523757 1.35244261 132.080384 77.489254
    Unten rechts KachelX + 1 113626 KachelY + 1 19417 2.30528550 1.35244261 132.083130 77.489254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35245299-1.35244261) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35245299-1.35244261) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30523757-2.30528550) × cos(1.35245299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216612590955009 × 6371000     		do = 66.1452604976216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30523757-2.30528550) × cos(1.35244261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216622724497673 × 6371000     		du = 66.1483548967807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35245299)-sin(1.35244261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216612590955009-0.216622724497673)×R²
    abs(2.30528550-2.30523757)×1.01335426643534e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01335426643534e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01335426643534e-05×40589641000000     		ar = 4374.35321702694m²