Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113625 / 17963
↖ ↑ ↗
← N 78.325536°
E132.080384°		 ← 61.79 m → N 78.325536°
E132.083130°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.324981°
E132.080384°		 ← 61.79 m →
3 819 m²		 N 78.324981°
E132.083130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866893768310547 y=0.137050628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866893768310547 × 217)
    floor (0.866893768310547 × 131072)
    floor (113625.5)     		tx = 113625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137050628662109 × 217)
    floor (0.137050628662109 × 131072)
    floor (17963.5)     		ty = 17963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113625 / 17963 ti = "17/113625/17963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113625/17963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113625 ÷ 217
    113625 ÷ 131072     		x = 0.866889953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17963 ÷ 217
    17963 ÷ 131072     		y = 0.137046813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866889953613281 × 2 - 1) × π
    0.733779907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.30523757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137046813964844 × 2 - 1) × π
    0.725906372070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.28050212562493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30523757} λ = 2.30523757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28050212562493))-π/2
    2×atan(9.78159076399352)-π/2
    2×1.46891741397661-π/2
    2.93783482795323-1.57079632675     		φ = 1.36703850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30523757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.080384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36703850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.325536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113625 KachelY 17963 2.30523757 1.36703850 132.080384 78.325536
    Oben rechts KachelX + 1 113626 KachelY 17963 2.30528550 1.36703850 132.083130 78.325536
    Unten links KachelX 113625 KachelY + 1 17964 2.30523757 1.36702880 132.080384 78.324981
    Unten rechts KachelX + 1 113626 KachelY + 1 17964 2.30528550 1.36702880 132.083130 78.324981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36703850-1.36702880) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36703850-1.36702880) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30523757-2.30528550) × cos(1.36703850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202350839844941 × 6371000     		do = 61.7902632272937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30523757-2.30528550) × cos(1.36702880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20236033917244 × 6371000     		du = 61.7931639612227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36703850)-sin(1.36702880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202350839844941-0.20236033917244)×R²
    abs(2.30528550-2.30523757)×9.49932749977345e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.49932749977345e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.49932749977345e-06×40589641000000     		ar = 3818.64757097332m²