Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113622 / 19358
↖ ↑ ↗
← N 77.524308°
E132.072144°		 ← 65.97 m → N 77.524308°
E132.074890°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.523715°
E132.072144°		 ← 65.97 m →
4 350 m²		 N 77.523715°
E132.074890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866870880126953 y=0.147693634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866870880126953 × 217)
    floor (0.866870880126953 × 131072)
    floor (113622.5)     		tx = 113622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147693634033203 × 217)
    floor (0.147693634033203 × 131072)
    floor (19358.5)     		ty = 19358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113622 / 19358 ti = "17/113622/19358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113622/19358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113622 ÷ 217
    113622 ÷ 131072     		x = 0.866867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19358 ÷ 217
    19358 ÷ 131072     		y = 0.147689819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866867065429688 × 2 - 1) × π
    0.733734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30509376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147689819335938 × 2 - 1) × π
    0.704620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21363015065495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30509376} λ = 2.30509376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21363015065495))-π/2
    2×atan(9.14886795304759)-π/2
    2×1.46192538029447-π/2
    2.92385076058895-1.57079632675     		φ = 1.35305443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30509376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.072144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35305443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.524308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113622 KachelY 19358 2.30509376 1.35305443 132.072144 77.524308
    Oben rechts KachelX + 1 113623 KachelY 19358 2.30514169 1.35305443 132.074890 77.524308
    Unten links KachelX 113622 KachelY + 1 19359 2.30509376 1.35304408 132.072144 77.523715
    Unten rechts KachelX + 1 113623 KachelY + 1 19359 2.30514169 1.35304408 132.074890 77.523715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35305443-1.35304408) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35305443-1.35304408) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30509376-2.30514169) × cos(1.35305443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216025391415982 × 6371000     		do = 65.9659520543693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30509376-2.30514169) × cos(1.35304408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216035497017581 × 6371000     		du = 65.9690379213879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35305443)-sin(1.35304408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216025391415982-0.216035497017581)×R²
    abs(2.30514169-2.30509376)×1.01056015988088e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01056015988088e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01056015988088e-05×40589641000000     		ar = 4349.88672434183m²