Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113621 / 17957
↖ ↑ ↗
← N 78.328871°
E132.069397°		 ← 61.79 m → N 78.328871°
E132.072144°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.328315°
E132.069397°		 ← 61.79 m →
3 814 m²		 N 78.328315°
E132.072144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866863250732422 y=0.137004852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866863250732422 × 217)
    floor (0.866863250732422 × 131072)
    floor (113621.5)     		tx = 113621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137004852294922 × 217)
    floor (0.137004852294922 × 131072)
    floor (17957.5)     		ty = 17957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113621 / 17957 ti = "17/113621/17957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113621/17957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113621 ÷ 217
    113621 ÷ 131072     		x = 0.866859436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17957 ÷ 217
    17957 ÷ 131072     		y = 0.137001037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866859436035156 × 2 - 1) × π
    0.733718872070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.30504582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137001037597656 × 2 - 1) × π
    0.725997924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.28078974702265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30504582} λ = 2.30504582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28078974702265))-π/2
    2×atan(9.78440456343606)-π/2
    2×1.46894651009416-π/2
    2.93789302018832-1.57079632675     		φ = 1.36709669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30504582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.069397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36709669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.328871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113621 KachelY 17957 2.30504582 1.36709669 132.069397 78.328871
    Oben rechts KachelX + 1 113622 KachelY 17957 2.30509376 1.36709669 132.072144 78.328871
    Unten links KachelX 113621 KachelY + 1 17958 2.30504582 1.36708700 132.069397 78.328315
    Unten rechts KachelX + 1 113622 KachelY + 1 17958 2.30509376 1.36708700 132.072144 78.328315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36709669-1.36708700) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36709669-1.36708700) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30504582-2.30509376) × cos(1.36709669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2022938532734 × 6371000     		do = 61.785749833439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30504582-2.30509376) × cos(1.36708700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202303342921872 × 6371000     		du = 61.7886482163461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36709669)-sin(1.36708700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2022938532734-0.202303342921872)×R²
    abs(2.30509376-2.30504582)×9.48964847266587e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48964847266587e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48964847266587e-06×40589641000000     		ar = 3814.43211397825m²