Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113618 / 18249
↖ ↑ ↗
← N 78.165514°
E132.061157°		 ← 62.63 m → N 78.165514°
E132.063904°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.164951°
E132.061157°		 ← 62.63 m →
3 922 m²		 N 78.164951°
E132.063904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866840362548828 y=0.139232635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866840362548828 × 217)
    floor (0.866840362548828 × 131072)
    floor (113618.5)     		tx = 113618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139232635498047 × 217)
    floor (0.139232635498047 × 131072)
    floor (18249.5)     		ty = 18249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113618 / 18249 ti = "17/113618/18249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113618/18249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113618 ÷ 217
    113618 ÷ 131072     		x = 0.866836547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18249 ÷ 217
    18249 ÷ 131072     		y = 0.139228820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866836547851562 × 2 - 1) × π
    0.733673095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30490201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139228820800781 × 2 - 1) × π
    0.721542358398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2667921723336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30490201} λ = 2.30490201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2667921723336))-π/2
    2×atan(9.6484007124221)-π/2
    2×1.4675209517924-π/2
    2.93504190358481-1.57079632675     		φ = 1.36424558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30490201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.061157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36424558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.165514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113618 KachelY 18249 2.30490201 1.36424558 132.061157 78.165514
    Oben rechts KachelX + 1 113619 KachelY 18249 2.30494994 1.36424558 132.063904 78.165514
    Unten links KachelX 113618 KachelY + 1 18250 2.30490201 1.36423575 132.061157 78.164951
    Unten rechts KachelX + 1 113619 KachelY + 1 18250 2.30494994 1.36423575 132.063904 78.164951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36424558-1.36423575) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36424558-1.36423575) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30490201-2.30494994) × cos(1.36424558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205085190209307 × 6371000     		do = 62.6252300052885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30490201-2.30494994) × cos(1.36423575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20509481125416 × 6371000     		du = 62.6281679070754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36424558)-sin(1.36423575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205085190209307-0.20509481125416)×R²
    abs(2.30494994-2.30490201)×9.62104485274784e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.62104485274784e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.62104485274784e-06×40589641000000     		ar = 3922.11789162527m²