Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113617 / 17966
↖ ↑ ↗
← N 78.323869°
E132.058411°		 ← 61.81 m → N 78.323869°
E132.061157°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.323313°
E132.058411°		 ← 61.81 m →
3 820 m²		 N 78.323313°
E132.061157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866832733154297 y=0.137073516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866832733154297 × 217)
    floor (0.866832733154297 × 131072)
    floor (113617.5)     		tx = 113617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137073516845703 × 217)
    floor (0.137073516845703 × 131072)
    floor (17966.5)     		ty = 17966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113617 / 17966 ti = "17/113617/17966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113617/17966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113617 ÷ 217
    113617 ÷ 131072     		x = 0.866828918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17966 ÷ 217
    17966 ÷ 131072     		y = 0.137069702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866828918457031 × 2 - 1) × π
    0.733657836914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.30485407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137069702148438 × 2 - 1) × π
    0.725860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28035831492607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30485407} λ = 2.30485407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28035831492607))-π/2
    2×atan(9.78018416773401)-π/2
    2×1.46890286284421-π/2
    2.93780572568843-1.57079632675     		φ = 1.36700940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30485407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.058411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36700940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.323869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113617 KachelY 17966 2.30485407 1.36700940 132.058411 78.323869
    Oben rechts KachelX + 1 113618 KachelY 17966 2.30490201 1.36700940 132.061157 78.323869
    Unten links KachelX 113617 KachelY + 1 17967 2.30485407 1.36699970 132.058411 78.323313
    Unten rechts KachelX + 1 113618 KachelY + 1 17967 2.30490201 1.36699970 132.061157 78.323313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36700940-1.36699970) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36700940-1.36699970) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30485407-2.30490201) × cos(1.36700940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202379337770318 × 6371000     		do = 61.8118589991689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30485407-2.30490201) × cos(1.36699970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202388837040695 × 6371000     		du = 61.8147603208532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36700940)-sin(1.36699970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202379337770318-0.202388837040695)×R²
    abs(2.30490201-2.30485407)×9.49927037663389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49927037663389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49927037663389e-06×40589641000000     		ar = 3819.98217965846m²