Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113616 / 19313
↖ ↑ ↗
← N 77.550980°
E132.055664°		 ← 65.84 m → N 77.550980°
E132.058411°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.550388°
E132.055664°		 ← 65.84 m →
4 333 m²		 N 77.550388°
E132.058411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866825103759766 y=0.147350311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866825103759766 × 217)
    floor (0.866825103759766 × 131072)
    floor (113616.5)     		tx = 113616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147350311279297 × 217)
    floor (0.147350311279297 × 131072)
    floor (19313.5)     		ty = 19313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113616 / 19313 ti = "17/113616/19313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113616/19313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113616 ÷ 217
    113616 ÷ 131072     		x = 0.8668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19313 ÷ 217
    19313 ÷ 131072     		y = 0.147346496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8668212890625 × 2 - 1) × π
    0.733642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30480613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147346496582031 × 2 - 1) × π
    0.705307006835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21578731113786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30480613} λ = 2.30480613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21578731113786))-π/2
    2×atan(9.16862483117629)-π/2
    2×1.46215813579711-π/2
    2.92431627159422-1.57079632675     		φ = 1.35351994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30480613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35351994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.550980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113616 KachelY 19313 2.30480613 1.35351994 132.055664 77.550980
    Oben rechts KachelX + 1 113617 KachelY 19313 2.30485407 1.35351994 132.058411 77.550980
    Unten links KachelX 113616 KachelY + 1 19314 2.30480613 1.35350961 132.055664 77.550388
    Unten rechts KachelX + 1 113617 KachelY + 1 19314 2.30485407 1.35350961 132.058411 77.550388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35351994-1.35350961) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35351994-1.35350961) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30480613-2.30485407) × cos(1.35351994) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.21557084976652 × 6371000     		do = 65.8408863129349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30480613-2.30485407) × cos(1.35350961) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.215580936878145 × 6371000     		du = 65.8439671764675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35351994)-sin(1.35350961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21557084976652-0.215580936878145)×R²
    abs(2.30485407-2.30480613)×1.00871116253121e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.00871116253121e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.00871116253121e-05×40589641000000     		ar = 4333.25010133807m²