Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113616 / 18251
↖ ↑ ↗
← N 78.164387°
E132.055664°		 ← 62.64 m → N 78.164387°
E132.058411°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.163824°
E132.055664°		 ← 62.65 m →
3 923 m²		 N 78.163824°
E132.058411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866825103759766 y=0.139247894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866825103759766 × 217)
    floor (0.866825103759766 × 131072)
    floor (113616.5)     		tx = 113616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139247894287109 × 217)
    floor (0.139247894287109 × 131072)
    floor (18251.5)     		ty = 18251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113616 / 18251 ti = "17/113616/18251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113616/18251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113616 ÷ 217
    113616 ÷ 131072     		x = 0.8668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18251 ÷ 217
    18251 ÷ 131072     		y = 0.139244079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8668212890625 × 2 - 1) × π
    0.733642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30480613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139244079589844 × 2 - 1) × π
    0.721511840820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26669629853436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30480613} λ = 2.30480613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26669629853436))-π/2
    2×atan(9.6474757279308)-π/2
    2×1.46751112018281-π/2
    2.93502224036561-1.57079632675     		φ = 1.36422591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30480613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36422591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.164387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113616 KachelY 18251 2.30480613 1.36422591 132.055664 78.164387
    Oben rechts KachelX + 1 113617 KachelY 18251 2.30485407 1.36422591 132.058411 78.164387
    Unten links KachelX 113616 KachelY + 1 18252 2.30480613 1.36421608 132.055664 78.163824
    Unten rechts KachelX + 1 113617 KachelY + 1 18252 2.30485407 1.36421608 132.058411 78.163824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36422591-1.36421608) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36422591-1.36421608) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30480613-2.30485407) × cos(1.36422591) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.205104442066595 × 6371000     		do = 62.6441759960162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30480613-2.30485407) × cos(1.36421608) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.205114063071791 × 6371000     		du = 62.6471144986476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36422591)-sin(1.36421608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205104442066595-0.205114063071791)×R²
    abs(2.30485407-2.30480613)×9.62100519547038e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.62100519547038e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.62100519547038e-06×40589641000000     		ar = 3923.30443978569m²