Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113615 / 18258
↖ ↑ ↗
← N 78.160443°
E132.052918°		 ← 62.65 m → N 78.160443°
E132.055664°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.159879°
E132.052918°		 ← 62.65 m →
3 928 m²		 N 78.159879°
E132.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866817474365234 y=0.139301300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866817474365234 × 217)
    floor (0.866817474365234 × 131072)
    floor (113615.5)     		tx = 113615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139301300048828 × 217)
    floor (0.139301300048828 × 131072)
    floor (18258.5)     		ty = 18258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113615 / 18258 ti = "17/113615/18258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113615/18258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113615 ÷ 217
    113615 ÷ 131072     		x = 0.866813659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18258 ÷ 217
    18258 ÷ 131072     		y = 0.139297485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866813659667969 × 2 - 1) × π
    0.733627319335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.30475820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139297485351562 × 2 - 1) × π
    0.721405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26636074023701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30475820} λ = 2.30475820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26636074023701))-π/2
    2×atan(9.64423898049101)-π/2
    2×1.46747670228321-π/2
    2.93495340456642-1.57079632675     		φ = 1.36415708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30475820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.052918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36415708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.160443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113615 KachelY 18258 2.30475820 1.36415708 132.052918 78.160443
    Oben rechts KachelX + 1 113616 KachelY 18258 2.30480613 1.36415708 132.055664 78.160443
    Unten links KachelX 113615 KachelY + 1 18259 2.30475820 1.36414724 132.052918 78.159879
    Unten rechts KachelX + 1 113616 KachelY + 1 18259 2.30480613 1.36414724 132.055664 78.159879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36415708-1.36414724) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36415708-1.36414724) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30475820-2.30480613) × cos(1.36415708) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205171808261232 × 6371000     		do = 62.6516798688784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30475820-2.30480613) × cos(1.36414724) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205181438914867 × 6371000     		du = 62.6546207048227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36415708)-sin(1.36414724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205171808261232-0.205181438914867)×R²
    abs(2.30480613-2.30475820)×9.63065363548954e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.63065363548954e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.63065363548954e-06×40589641000000     		ar = 3927.76608955199m²