Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113610 / 17950
↖ ↑ ↗
← N 78.332759°
E132.039184°		 ← 61.77 m → N 78.332759°
E132.041931°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.332204°
E132.039184°		 ← 61.77 m →
3 813 m²		 N 78.332204°
E132.041931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866779327392578 y=0.136951446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866779327392578 × 217)
    floor (0.866779327392578 × 131072)
    floor (113610.5)     		tx = 113610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136951446533203 × 217)
    floor (0.136951446533203 × 131072)
    floor (17950.5)     		ty = 17950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113610 / 17950 ti = "17/113610/17950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113610/17950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113610 ÷ 217
    113610 ÷ 131072     		x = 0.866775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17950 ÷ 217
    17950 ÷ 131072     		y = 0.136947631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866775512695312 × 2 - 1) × π
    0.733551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30451851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136947631835938 × 2 - 1) × π
    0.726104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28112530531999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30451851} λ = 2.30451851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28112530531999))-π/2
    2×atan(9.78768835249238)-π/2
    2×1.46898044520787-π/2
    2.93796089041574-1.57079632675     		φ = 1.36716456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30451851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.039184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36716456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.332759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113610 KachelY 17950 2.30451851 1.36716456 132.039184 78.332759
    Oben rechts KachelX + 1 113611 KachelY 17950 2.30456645 1.36716456 132.041931 78.332759
    Unten links KachelX 113610 KachelY + 1 17951 2.30451851 1.36715487 132.039184 78.332204
    Unten rechts KachelX + 1 113611 KachelY + 1 17951 2.30456645 1.36715487 132.041931 78.332204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36716456-1.36715487) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36716456-1.36715487) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30451851-2.30456645) × cos(1.36716456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202227386028748 × 6371000     		do = 61.7654490260555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30451851-2.30456645) × cos(1.36715487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202236875810243 × 6371000     		du = 61.768347449591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36716456)-sin(1.36715487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202227386028748-0.202236875810243)×R²
    abs(2.30456645-2.30451851)×9.48978149456492e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48978149456492e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48978149456492e-06×40589641000000     		ar = 3813.17884517962m²