Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113605 / 17955
↖ ↑ ↗
← N 78.329982°
E132.025452°		 ← 61.77 m → N 78.329982°
E132.028198°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.329426°
E132.025452°		 ← 61.77 m →
3 817 m²		 N 78.329426°
E132.028198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866741180419922 y=0.136989593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866741180419922 × 217)
    floor (0.866741180419922 × 131072)
    floor (113605.5)     		tx = 113605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136989593505859 × 217)
    floor (0.136989593505859 × 131072)
    floor (17955.5)     		ty = 17955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113605 / 17955 ti = "17/113605/17955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113605/17955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113605 ÷ 217
    113605 ÷ 131072     		x = 0.866737365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17955 ÷ 217
    17955 ÷ 131072     		y = 0.136985778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866737365722656 × 2 - 1) × π
    0.733474731445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.30427883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136985778808594 × 2 - 1) × π
    0.726028442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.28088562082189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30427883} λ = 2.30427883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28088562082189))-π/2
    2×atan(9.78534267644437)-π/2
    2×1.46895620697891-π/2
    2.93791241395781-1.57079632675     		φ = 1.36711609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30427883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.025452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36711609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.329982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113605 KachelY 17955 2.30427883 1.36711609 132.025452 78.329982
    Oben rechts KachelX + 1 113606 KachelY 17955 2.30432676 1.36711609 132.028198 78.329982
    Unten links KachelX 113605 KachelY + 1 17956 2.30427883 1.36710639 132.025452 78.329426
    Unten rechts KachelX + 1 113606 KachelY + 1 17956 2.30432676 1.36710639 132.028198 78.329426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36711609-1.36710639) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36711609-1.36710639) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30427883-2.30432676) × cos(1.36711609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202274854332896 × 6371000     		do = 61.7670601370851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30427883-2.30432676) × cos(1.36710639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202284353812664 × 6371000     		du = 61.7699609175111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36711609)-sin(1.36710639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202274854332896-0.202284353812664)×R²
    abs(2.30432676-2.30427883)×9.49947976841559e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.49947976841559e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.49947976841559e-06×40589641000000     		ar = 3817.21365156214m²