Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113601 / 17948
↖ ↑ ↗
← N 78.333870°
E132.014465°		 ← 61.76 m → N 78.333870°
E132.017212°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.333315°
E132.014465°		 ← 61.76 m →
3 813 m²		 N 78.333315°
E132.017212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866710662841797 y=0.136936187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866710662841797 × 217)
    floor (0.866710662841797 × 131072)
    floor (113601.5)     		tx = 113601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136936187744141 × 217)
    floor (0.136936187744141 × 131072)
    floor (17948.5)     		ty = 17948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113601 / 17948 ti = "17/113601/17948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113601/17948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113601 ÷ 217
    113601 ÷ 131072     		x = 0.866706848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17948 ÷ 217
    17948 ÷ 131072     		y = 0.136932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866706848144531 × 2 - 1) × π
    0.733413696289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.30408708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136932373046875 × 2 - 1) × π
    0.72613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28122117911923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30408708} λ = 2.30408708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28122117911923))-π/2
    2×atan(9.78862678034511)-π/2
    2×1.46899013890651-π/2
    2.93798027781302-1.57079632675     		φ = 1.36718395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30408708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.014465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36718395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.333870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113601 KachelY 17948 2.30408708 1.36718395 132.014465 78.333870
    Oben rechts KachelX + 1 113602 KachelY 17948 2.30413502 1.36718395 132.017212 78.333870
    Unten links KachelX 113601 KachelY + 1 17949 2.30408708 1.36717426 132.014465 78.333315
    Unten rechts KachelX + 1 113602 KachelY + 1 17949 2.30413502 1.36717426 132.017212 78.333315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36718395-1.36717426) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36718395-1.36717426) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30408708-2.30413502) × cos(1.36718395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202208396615369 × 6371000     		do = 61.7596491704222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30408708-2.30413502) × cos(1.36717426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202217886434859 × 6371000     		du = 61.7625476055624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36718395)-sin(1.36717426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202208396615369-0.202217886434859)×R²
    abs(2.30413502-2.30408708)×9.48981948997729e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48981948997729e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48981948997729e-06×40589641000000     		ar = 3812.82079146486m²