Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1136 / 3285
↖ ↑ ↗
← S 72.945431°
W 80.156250°		 ← 2 866.24 m → S 72.945431°
W 80.068360°		 →
↑
2 864.15 m
↓
↑
2 864.15 m
↓
S 72.971189°
W 80.156250°		 ← 2 862.04 m →
8 203 330 m²		 S 72.971189°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2774658203125 y=0.8021240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2774658203125 × 212)
    floor (0.2774658203125 × 4096)
    floor (1136.5)     		tx = 1136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8021240234375 × 212)
    floor (0.8021240234375 × 4096)
    floor (3285.5)     		ty = 3285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1136 / 3285 ti = "12/1136/3285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1136/3285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1136 ÷ 212
    1136 ÷ 4096     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3285 ÷ 212
    3285 ÷ 4096     		y = 0.802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8975342345603))-π/2
    2×atan(0.149937875417269)-π/2
    2×0.148829189517722-π/2
    0.297658379035444-1.57079632675     		φ = -1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1136 KachelY 3285 -1.39899048 -1.27313795 -80.156250 -72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 1137 KachelY 3285 -1.39745650 -1.27313795 -80.068360 -72.945431
    Unten links KachelX 1136 KachelY + 1 3286 -1.39899048 -1.27358751 -80.156250 -72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 1137 KachelY + 1 3286 -1.39745650 -1.27358751 -80.068360 -72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27313795--1.27358751) × R
    0.000449560000000071 × 6371000     		dl = 2864.14676000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27313795--1.27358751) × R
    0.000449560000000071 × 6371000     		dr = 2864.14676000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39745650) × cos(-1.27313795) × R
    0.00153397999999982 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 2866.24457249948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39745650) × cos(-1.27358751) × R
    0.00153397999999982 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 2862.0439414385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27313795)-sin(-1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.292852539805578)×R²
    abs(-1.39745650--1.39899048)×0.000429820610781784×R²
    0.00153397999999982×0.000429820610781784×6371000²
    0.00153397999999982×0.000429820610781784×40589641000000     		ar = 8203329.63192852m²