Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113596 / 17956
↖ ↑ ↗
← N 78.329426°
E132.000733°		 ← 61.77 m → N 78.329426°
E132.003479°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.328871°
E132.000733°		 ← 61.77 m →
3 817 m²		 N 78.328871°
E132.003479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866672515869141 y=0.136997222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866672515869141 × 217)
    floor (0.866672515869141 × 131072)
    floor (113596.5)     		tx = 113596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136997222900391 × 217)
    floor (0.136997222900391 × 131072)
    floor (17956.5)     		ty = 17956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113596 / 17956 ti = "17/113596/17956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113596/17956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113596 ÷ 217
    113596 ÷ 131072     		x = 0.866668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17956 ÷ 217
    17956 ÷ 131072     		y = 0.136993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866668701171875 × 2 - 1) × π
    0.73333740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30384740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136993408203125 × 2 - 1) × π
    0.72601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28083768392227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30384740} λ = 2.30384740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28083768392227))-π/2
    2×atan(9.78487360869766)-π/2
    2×1.46895135865034-π/2
    2.93790271730068-1.57079632675     		φ = 1.36710639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30384740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.000733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36710639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.329426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113596 KachelY 17956 2.30384740 1.36710639 132.000733 78.329426
    Oben rechts KachelX + 1 113597 KachelY 17956 2.30389533 1.36710639 132.003479 78.329426
    Unten links KachelX 113596 KachelY + 1 17957 2.30384740 1.36709669 132.000733 78.328871
    Unten rechts KachelX + 1 113597 KachelY + 1 17957 2.30389533 1.36709669 132.003479 78.328871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36710639-1.36709669) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36710639-1.36709669) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30384740-2.30389533) × cos(1.36710639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202284353812664 × 6371000     		do = 61.7699609175111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30384740-2.30389533) × cos(1.36709669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2022938532734 × 6371000     		du = 61.7728616921253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36710639)-sin(1.36709669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202284353812664-0.2022938532734)×R²
    abs(2.30389533-2.30384740)×9.49946073569574e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.49946073569574e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.49946073569574e-06×40589641000000     		ar = 3817.39291581437m²