Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113593 / 17962
↖ ↑ ↗
← N 78.326092°
E131.992493°		 ← 61.79 m → N 78.326092°
E131.995239°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.325536°
E131.992493°		 ← 61.79 m →
3 818 m²		 N 78.325536°
E131.995239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866649627685547 y=0.137042999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866649627685547 × 217)
    floor (0.866649627685547 × 131072)
    floor (113593.5)     		tx = 113593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137042999267578 × 217)
    floor (0.137042999267578 × 131072)
    floor (17962.5)     		ty = 17962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113593 / 17962 ti = "17/113593/17962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113593/17962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113593 ÷ 217
    113593 ÷ 131072     		x = 0.866645812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17962 ÷ 217
    17962 ÷ 131072     		y = 0.137039184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866645812988281 × 2 - 1) × π
    0.733291625976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.30370359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137039184570312 × 2 - 1) × π
    0.725921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28055006252455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30370359} λ = 2.30370359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28055006252455))-π/2
    2×atan(9.78205967436707)-π/2
    2×1.46892226389869-π/2
    2.93784452779739-1.57079632675     		φ = 1.36704820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30370359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.992493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36704820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.326092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113593 KachelY 17962 2.30370359 1.36704820 131.992493 78.326092
    Oben rechts KachelX + 1 113594 KachelY 17962 2.30375152 1.36704820 131.995239 78.326092
    Unten links KachelX 113593 KachelY + 1 17963 2.30370359 1.36703850 131.992493 78.325536
    Unten rechts KachelX + 1 113594 KachelY + 1 17963 2.30375152 1.36703850 131.995239 78.325536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36704820-1.36703850) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36704820-1.36703850) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30370359-2.30375152) × cos(1.36704820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202341340498402 × 6371000     		do = 61.787362487551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30370359-2.30375152) × cos(1.36703850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202350839844941 × 6371000     		du = 61.7902632272937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36704820)-sin(1.36703850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202341340498402-0.202350839844941)×R²
    abs(2.30375152-2.30370359)×9.4993465387383e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.4993465387383e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.4993465387383e-06×40589641000000     		ar = 3818.46830909698m²