Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113589 / 17978
↖ ↑ ↗
← N 78.317197°
E131.981506°		 ← 61.83 m → N 78.317197°
E131.984253°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.316641°
E131.981506°		 ← 61.84 m →
3 825 m²		 N 78.316641°
E131.984253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866619110107422 y=0.137165069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866619110107422 × 217)
    floor (0.866619110107422 × 131072)
    floor (113589.5)     		tx = 113589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137165069580078 × 217)
    floor (0.137165069580078 × 131072)
    floor (17978.5)     		ty = 17978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113589 / 17978 ti = "17/113589/17978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113589/17978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113589 ÷ 217
    113589 ÷ 131072     		x = 0.866615295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17978 ÷ 217
    17978 ÷ 131072     		y = 0.137161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866615295410156 × 2 - 1) × π
    0.733230590820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.30351184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137161254882812 × 2 - 1) × π
    0.725677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27978307213063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30351184} λ = 2.30351184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27978307213063))-π/2
    2×atan(9.77455980509558)-π/2
    2×1.46884463781735-π/2
    2.9376892756347-1.57079632675     		φ = 1.36689295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30351184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.981506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36689295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.317197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113589 KachelY 17978 2.30351184 1.36689295 131.981506 78.317197
    Oben rechts KachelX + 1 113590 KachelY 17978 2.30355977 1.36689295 131.984253 78.317197
    Unten links KachelX 113589 KachelY + 1 17979 2.30351184 1.36688324 131.981506 78.316641
    Unten rechts KachelX + 1 113590 KachelY + 1 17979 2.30355977 1.36688324 131.984253 78.316641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36689295-1.36688324) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36689295-1.36688324) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30351184-2.30355977) × cos(1.36689295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202493376722002 × 6371000     		do = 61.8337885774231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30351184-2.30355977) × cos(1.36688324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202502885556525 × 6371000     		du = 61.8366922144359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36689295)-sin(1.36688324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202493376722002-0.202502885556525)×R²
    abs(2.30355977-2.30351184)×9.50883452305318e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.50883452305318e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.50883452305318e-06×40589641000000     		ar = 3825.27699398705m²