Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113586 / 19314
↖ ↑ ↗
← N 77.550388°
E131.973267°		 ← 65.83 m → N 77.550388°
E131.976013°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.549796°
E131.973267°		 ← 65.83 m →
4 333 m²		 N 77.549796°
E131.976013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866596221923828 y=0.147357940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866596221923828 × 217)
    floor (0.866596221923828 × 131072)
    floor (113586.5)     		tx = 113586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147357940673828 × 217)
    floor (0.147357940673828 × 131072)
    floor (19314.5)     		ty = 19314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113586 / 19314 ti = "17/113586/19314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113586/19314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113586 ÷ 217
    113586 ÷ 131072     		x = 0.866592407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19314 ÷ 217
    19314 ÷ 131072     		y = 0.147354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866592407226562 × 2 - 1) × π
    0.733184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30336803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147354125976562 × 2 - 1) × π
    0.705291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21573937423824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30336803} λ = 2.30336803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21573937423824))-π/2
    2×atan(9.16818532626244)-π/2
    2×1.4621529687772-π/2
    2.92430593755439-1.57079632675     		φ = 1.35350961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30336803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.973267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35350961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.550388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113586 KachelY 19314 2.30336803 1.35350961 131.973267 77.550388
    Oben rechts KachelX + 1 113587 KachelY 19314 2.30341596 1.35350961 131.976013 77.550388
    Unten links KachelX 113586 KachelY + 1 19315 2.30336803 1.35349928 131.973267 77.549796
    Unten rechts KachelX + 1 113587 KachelY + 1 19315 2.30341596 1.35349928 131.976013 77.549796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35350961-1.35349928) × R
    1.03299999998363e-05 × 6371000     		dl = 65.8124299989571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35350961-1.35349928) × R
    1.03299999998363e-05 × 6371000     		dr = 65.8124299989571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30336803-2.30341596) × cos(1.35350961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215580936878145 × 6371000     		do = 65.8302325144526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30336803-2.30341596) × cos(1.35349928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215591023966766 × 6371000     		du = 65.8333127283106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35350961)-sin(1.35349928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215580936878145-0.215591023966766)×R²
    abs(2.30341596-2.30336803)×1.00870886207138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00870886207138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00870886207138e-05×40589641000000     		ar = 4332.54892719134m²