Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113569 / 19423
↖ ↑ ↗
← N 77.485683°
E131.926575°		 ← 66.18 m → N 77.485683°
E131.929321°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.485088°
E131.926575°		 ← 66.18 m →
4 381 m²		 N 77.485088°
E131.929321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866466522216797 y=0.148189544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866466522216797 × 217)
    floor (0.866466522216797 × 131072)
    floor (113569.5)     		tx = 113569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148189544677734 × 217)
    floor (0.148189544677734 × 131072)
    floor (19423.5)     		ty = 19423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113569 / 19423 ti = "17/113569/19423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113569/19423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113569 ÷ 217
    113569 ÷ 131072     		x = 0.866462707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19423 ÷ 217
    19423 ÷ 131072     		y = 0.148185729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866462707519531 × 2 - 1) × π
    0.732925415039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.30255310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148185729980469 × 2 - 1) × π
    0.703628540039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21051425217965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30255310} λ = 2.30255310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21051425217965))-π/2
    2×atan(9.12040537562091)-π/2
    2×1.46158831125503-π/2
    2.92317662251007-1.57079632675     		φ = 1.35238030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30255310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.926575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35238030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.485683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113569 KachelY 19423 2.30255310 1.35238030 131.926575 77.485683
    Oben rechts KachelX + 1 113570 KachelY 19423 2.30260104 1.35238030 131.929321 77.485683
    Unten links KachelX 113569 KachelY + 1 19424 2.30255310 1.35236991 131.926575 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 113570 KachelY + 1 19424 2.30260104 1.35236991 131.929321 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35238030-1.35236991) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dl = 66.1946900008779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35238030-1.35236991) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dr = 66.1946900008779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30255310-2.30260104) × cos(1.35238030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21668355455074 × 6371000     		do = 66.1807349944468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30255310-2.30260104) × cos(1.35236991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 66.1838329709733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35238030)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21668355455074-0.216693697692332)×R²
    abs(2.30260104-2.30255310)×1.01431415913122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01431415913122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01431415913122e-05×40589641000000     		ar = 4380.91577183646m²