Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113565 / 19325
↖ ↑ ↗
← N 77.543873°
E131.915588°		 ← 65.88 m → N 77.543873°
E131.918335°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.543281°
E131.915588°		 ← 65.88 m →
4 340 m²		 N 77.543281°
E131.918335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866436004638672 y=0.147441864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866436004638672 × 217)
    floor (0.866436004638672 × 131072)
    floor (113565.5)     		tx = 113565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147441864013672 × 217)
    floor (0.147441864013672 × 131072)
    floor (19325.5)     		ty = 19325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113565 / 19325 ti = "17/113565/19325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113565/19325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113565 ÷ 217
    113565 ÷ 131072     		x = 0.866432189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19325 ÷ 217
    19325 ÷ 131072     		y = 0.147438049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866432189941406 × 2 - 1) × π
    0.732864379882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.30236135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147438049316406 × 2 - 1) × π
    0.705123901367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.21521206834242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30236135} λ = 2.30236135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21521206834242))-π/2
    2×atan(9.1633521624758)-π/2
    2×1.4620961155922-π/2
    2.92419223118441-1.57079632675     		φ = 1.35339590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30236135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.915588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35339590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.543873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113565 KachelY 19325 2.30236135 1.35339590 131.915588 77.543873
    Oben rechts KachelX + 1 113566 KachelY 19325 2.30240929 1.35339590 131.918335 77.543873
    Unten links KachelX 113565 KachelY + 1 19326 2.30236135 1.35338556 131.915588 77.543281
    Unten rechts KachelX + 1 113566 KachelY + 1 19326 2.30240929 1.35338556 131.918335 77.543281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35339590-1.35338556) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35339590-1.35338556) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30236135-2.30240929) × cos(1.35339590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215691971704413 × 6371000     		do = 65.8778800698361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30236135-2.30240929) × cos(1.35338556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215702068304328 × 6371000     		du = 65.8809638313367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35339590)-sin(1.35338556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215691971704413-0.215702068304328)×R²
    abs(2.30240929-2.30236135)×1.00965999153824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00965999153824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00965999153824e-05×40589641000000     		ar = 4339.88202349368m²