Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113562 / 19310
↖ ↑ ↗
← N 77.552756°
E131.907349°		 ← 65.83 m → N 77.552756°
E131.910095°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.552164°
E131.907349°		 ← 65.83 m →
4 333 m²		 N 77.552164°
E131.910095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866413116455078 y=0.147327423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866413116455078 × 217)
    floor (0.866413116455078 × 131072)
    floor (113562.5)     		tx = 113562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147327423095703 × 217)
    floor (0.147327423095703 × 131072)
    floor (19310.5)     		ty = 19310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113562 / 19310 ti = "17/113562/19310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113562/19310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113562 ÷ 217
    113562 ÷ 131072     		x = 0.866409301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19310 ÷ 217
    19310 ÷ 131072     		y = 0.147323608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866409301757812 × 2 - 1) × π
    0.732818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30221754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147323608398438 × 2 - 1) × π
    0.705352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21593112183672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30221754} λ = 2.30221754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21593112183672))-π/2
    2×atan(9.16994347233593)-π/2
    2×1.46217363540572-π/2
    2.92434727081145-1.57079632675     		φ = 1.35355094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30221754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.907349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35355094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.552756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113562 KachelY 19310 2.30221754 1.35355094 131.907349 77.552756
    Oben rechts KachelX + 1 113563 KachelY 19310 2.30226548 1.35355094 131.910095 77.552756
    Unten links KachelX 113562 KachelY + 1 19311 2.30221754 1.35354061 131.907349 77.552164
    Unten rechts KachelX + 1 113563 KachelY + 1 19311 2.30226548 1.35354061 131.910095 77.552164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35355094-1.35354061) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35355094-1.35354061) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30221754-2.30226548) × cos(1.35355094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215540578528679 × 6371000     		do = 65.8316406971068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30221754-2.30226548) × cos(1.35354061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215550665709334 × 6371000     		du = 65.8347215817227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35355094)-sin(1.35354061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215540578528679-0.215550665709334)×R²
    abs(2.30226548-2.30221754)×1.00871806543723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00871806543723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00871806543723e-05×40589641000000     		ar = 4332.64162558545m²