Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113558 / 19443
↖ ↑ ↗
← N 77.473775°
E131.896362°		 ← 66.24 m → N 77.473775°
E131.899109°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.473179°
E131.896362°		 ← 66.25 m →
4 389 m²		 N 77.473179°
E131.899109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866382598876953 y=0.148342132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866382598876953 × 217)
    floor (0.866382598876953 × 131072)
    floor (113558.5)     		tx = 113558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148342132568359 × 217)
    floor (0.148342132568359 × 131072)
    floor (19443.5)     		ty = 19443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113558 / 19443 ti = "17/113558/19443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113558/19443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113558 ÷ 217
    113558 ÷ 131072     		x = 0.866378784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19443 ÷ 217
    19443 ÷ 131072     		y = 0.148338317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866378784179688 × 2 - 1) × π
    0.732757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30202579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148338317871094 × 2 - 1) × π
    0.703323364257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20955551418725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30202579} λ = 2.30202579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20955551418725))-π/2
    2×atan(9.1116654867824)-π/2
    2×1.46148439125083-π/2
    2.92296878250166-1.57079632675     		φ = 1.35217246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30202579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.896362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35217246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.473775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113558 KachelY 19443 2.30202579 1.35217246 131.896362 77.473775
    Oben rechts KachelX + 1 113559 KachelY 19443 2.30207373 1.35217246 131.899109 77.473775
    Unten links KachelX 113558 KachelY + 1 19444 2.30202579 1.35216206 131.896362 77.473179
    Unten rechts KachelX + 1 113559 KachelY + 1 19444 2.30207373 1.35216206 131.899109 77.473179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35217246-1.35216206) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35217246-1.35216206) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30202579-2.30207373) × cos(1.35217246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216886451984607 × 6371000     		do = 66.2427050933297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30202579-2.30207373) × cos(1.35216206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216896604419995 × 6371000     		du = 66.2458059084209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35217246)-sin(1.35216206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216886451984607-0.216896604419995)×R²
    abs(2.30207373-2.30202579)×1.01524353881277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01524353881277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01524353881277e-05×40589641000000     		ar = 4389.23837882882m²