Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11355 / 23749
↖ ↑ ↗
← S 62.618615°
W 55.250244°		 ← 561.82 m → S 62.618615°
W 55.239258°		 →
↑
561.79 m
↓
↑
561.79 m
↓
S 62.623668°
W 55.250244°		 ← 561.72 m →
315 599 m²		 S 62.623668°
W 55.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346542358398438 y=0.724777221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346542358398438 × 215)
    floor (0.346542358398438 × 32768)
    floor (11355.5)     		tx = 11355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724777221679688 × 215)
    floor (0.724777221679688 × 32768)
    floor (23749.5)     		ty = 23749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11355 / 23749 ti = "15/11355/23749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11355/23749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11355 ÷ 215
    11355 ÷ 32768     		x = 0.346527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23749 ÷ 215
    23749 ÷ 32768     		y = 0.724761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96429867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.44952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41222106280685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96429867} λ = -0.96429867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41222106280685))-π/2
    2×atan(0.243601627336148)-π/2
    2×0.238947658664604-π/2
    0.477895317329208-1.57079632675     		φ = -1.09290101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96429867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09290101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.618615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11355 KachelY 23749 -0.96429867 -1.09290101 -55.250244 -62.618615
    Oben rechts KachelX + 1 11356 KachelY 23749 -0.96410693 -1.09290101 -55.239258 -62.618615
    Unten links KachelX 11355 KachelY + 1 23750 -0.96429867 -1.09298919 -55.250244 -62.623668
    Unten rechts KachelX + 1 11356 KachelY + 1 23750 -0.96410693 -1.09298919 -55.239258 -62.623668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09290101--1.09298919) × R
    8.81799999998822e-05 × 6371000     		dl = 561.79477999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09290101--1.09298919) × R
    8.81799999998822e-05 × 6371000     		dr = 561.79477999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96429867--0.96410693) × cos(-1.09290101) × R
    0.000191739999999996 × 0.459911310833511 × 6371000     		do = 561.816407883542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96429867--0.96410693) × cos(-1.09298919) × R
    0.000191739999999996 × 0.459833008304508 × 6371000     		du = 561.720755429392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09290101)-sin(-1.09298919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459911310833511-0.459833008304508)×R²
    abs(-0.96410693--0.96429867)×7.83025290030936e-05×R²
    0.000191739999999996×7.83025290030936e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.83025290030936e-05×40589641000000     		ar = 315598.656946187m²