Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11355 / 23721
↖ ↑ ↗
← S 62.476801°
W 55.250244°		 ← 564.50 m → S 62.476801°
W 55.239258°		 →
↑
564.47 m
↓
↑
564.47 m
↓
S 62.481877°
W 55.250244°		 ← 564.40 m →
318 616 m²		 S 62.481877°
W 55.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346542358398438 y=0.723922729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346542358398438 × 215)
    floor (0.346542358398438 × 32768)
    floor (11355.5)     		tx = 11355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723922729492188 × 215)
    floor (0.723922729492188 × 32768)
    floor (23721.5)     		ty = 23721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11355 / 23721 ti = "15/11355/23721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11355/23721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11355 ÷ 215
    11355 ÷ 32768     		x = 0.346527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23721 ÷ 215
    23721 ÷ 32768     		y = 0.723907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96429867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.44781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40685213004941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96429867} λ = -0.96429867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40685213004941))-π/2
    2×atan(0.244913025346655)-π/2
    2×0.240185221507088-π/2
    0.480370443014176-1.57079632675     		φ = -1.09042588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96429867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09042588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.476801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11355 KachelY 23721 -0.96429867 -1.09042588 -55.250244 -62.476801
    Oben rechts KachelX + 1 11356 KachelY 23721 -0.96410693 -1.09042588 -55.239258 -62.476801
    Unten links KachelX 11355 KachelY + 1 23722 -0.96429867 -1.09051448 -55.250244 -62.481877
    Unten rechts KachelX + 1 11356 KachelY + 1 23722 -0.96410693 -1.09051448 -55.239258 -62.481877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09042588--1.09051448) × R
    8.85999999999942e-05 × 6371000     		dl = 564.470599999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09042588--1.09051448) × R
    8.85999999999942e-05 × 6371000     		dr = 564.470599999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96429867--0.96410693) × cos(-1.09042588) × R
    0.000191739999999996 × 0.462107728275032 × 6371000     		do = 564.499497705733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96429867--0.96410693) × cos(-1.09051448) × R
    0.000191739999999996 × 0.46202915387293 × 6371000     		du = 564.403513138055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09042588)-sin(-1.09051448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462107728275032-0.46202915387293)×R²
    abs(-0.96410693--0.96429867)×7.85744021021273e-05×R²
    0.000191739999999996×7.85744021021273e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.85744021021273e-05×40589641000000     		ar = 318616.280144664m²