Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113547 / 18580
↖ ↑ ↗
← N 77.977612°
E131.866150°		 ← 63.61 m → N 77.977612°
E131.868896°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.977040°
E131.866150°		 ← 63.61 m →
4 044 m²		 N 77.977040°
E131.868896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866298675537109 y=0.141757965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866298675537109 × 217)
    floor (0.866298675537109 × 131072)
    floor (113547.5)     		tx = 113547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141757965087891 × 217)
    floor (0.141757965087891 × 131072)
    floor (18580.5)     		ty = 18580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113547 / 18580 ti = "17/113547/18580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113547/18580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113547 ÷ 217
    113547 ÷ 131072     		x = 0.866294860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18580 ÷ 217
    18580 ÷ 131072     		y = 0.141754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866294860839844 × 2 - 1) × π
    0.732589721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.30149849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141754150390625 × 2 - 1) × π
    0.71649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25092505855936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30149849} λ = 2.30149849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25092505855936))-π/2
    2×atan(9.49651660834084)-π/2
    2×1.46588120006046-π/2
    2.93176240012092-1.57079632675     		φ = 1.36096607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30149849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.866150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36096607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.977612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113547 KachelY 18580 2.30149849 1.36096607 131.866150 77.977612
    Oben rechts KachelX + 1 113548 KachelY 18580 2.30154642 1.36096607 131.868896 77.977612
    Unten links KachelX 113547 KachelY + 1 18581 2.30149849 1.36095609 131.866150 77.977040
    Unten rechts KachelX + 1 113548 KachelY + 1 18581 2.30154642 1.36095609 131.868896 77.977040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36096607-1.36095609) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36096607-1.36095609) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30149849-2.30154642) × cos(1.36096607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208293882741589 × 6371000     		do = 63.6050428705926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30149849-2.30154642) × cos(1.36095609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208303643832743 × 6371000     		du = 63.6080235372024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36096607)-sin(1.36095609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208293882741589-0.208303643832743)×R²
    abs(2.30154642-2.30149849)×9.76109115388701e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.76109115388701e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.76109115388701e-06×40589641000000     		ar = 4044.26748614793m²