Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113544 / 18585
↖ ↑ ↗
← N 77.974751°
E131.857910°		 ← 63.62 m → N 77.974751°
E131.860657°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.974179°
E131.857910°		 ← 63.62 m →
4 045 m²		 N 77.974179°
E131.860657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866275787353516 y=0.141796112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866275787353516 × 217)
    floor (0.866275787353516 × 131072)
    floor (113544.5)     		tx = 113544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141796112060547 × 217)
    floor (0.141796112060547 × 131072)
    floor (18585.5)     		ty = 18585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113544 / 18585 ti = "17/113544/18585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113544/18585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113544 ÷ 217
    113544 ÷ 131072     		x = 0.86627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18585 ÷ 217
    18585 ÷ 131072     		y = 0.141792297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86627197265625 × 2 - 1) × π
    0.7325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30135468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141792297363281 × 2 - 1) × π
    0.716415405273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.25068537406126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30135468} λ = 2.30135468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25068537406126))-π/2
    2×atan(9.49424071328315)-π/2
    2×1.46585623472733-π/2
    2.93171246945465-1.57079632675     		φ = 1.36091614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30135468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.857910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36091614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.974751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113544 KachelY 18585 2.30135468 1.36091614 131.857910 77.974751
    Oben rechts KachelX + 1 113545 KachelY 18585 2.30140261 1.36091614 131.860657 77.974751
    Unten links KachelX 113544 KachelY + 1 18586 2.30135468 1.36090616 131.857910 77.974179
    Unten rechts KachelX + 1 113545 KachelY + 1 18586 2.30140261 1.36090616 131.860657 77.974179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36091614-1.36090616) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36091614-1.36090616) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30135468-2.30140261) × cos(1.36091614) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.208342717331554 × 6371000     		do = 63.6199550995291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30135468-2.30140261) × cos(1.36090616) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.208352478318901 × 6371000     		du = 63.6229357344399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36091614)-sin(1.36090616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208342717331554-0.208352478318901)×R²
    abs(2.30140261-2.30135468)×9.76098734614683e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.76098734614683e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.76098734614683e-06×40589641000000     		ar = 4045.21564293512m²