Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11353 / 23751
↖ ↑ ↗
← S 62.628719°
W 55.272217°		 ← 561.65 m → S 62.628719°
W 55.261230°		 →
↑
561.60 m
↓
↑
561.60 m
↓
S 62.633769°
W 55.272217°		 ← 561.56 m →
315 400 m²		 S 62.633769°
W 55.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346481323242188 y=0.724838256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346481323242188 × 215)
    floor (0.346481323242188 × 32768)
    floor (11353.5)     		tx = 11353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724838256835938 × 215)
    floor (0.724838256835938 × 32768)
    floor (23751.5)     		ty = 23751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11353 / 23751 ti = "15/11353/23751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11353/23751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11353 ÷ 215
    11353 ÷ 32768     		x = 0.346466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23751 ÷ 215
    23751 ÷ 32768     		y = 0.724822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.30706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96468217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.44964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41260455800381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96468217} λ = -0.96468217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41260455800381))-π/2
    2×atan(0.243508225192874)-π/2
    2×0.238859486789052-π/2
    0.477718973578104-1.57079632675     		φ = -1.09307735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96468217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09307735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.628719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11353 KachelY 23751 -0.96468217 -1.09307735 -55.272217 -62.628719
    Oben rechts KachelX + 1 11354 KachelY 23751 -0.96449042 -1.09307735 -55.261230 -62.628719
    Unten links KachelX 11353 KachelY + 1 23752 -0.96468217 -1.09316550 -55.272217 -62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 11354 KachelY + 1 23752 -0.96449042 -1.09316550 -55.261230 -62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09307735--1.09316550) × R
    8.81500000000646e-05 × 6371000     		dl = 561.603650000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09307735--1.09316550) × R
    8.81500000000646e-05 × 6371000     		dr = 561.603650000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96468217--0.96449042) × cos(-1.09307735) × R
    0.000191750000000046 × 0.459754719960895 × 6371000     		do = 561.654411277122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96468217--0.96449042) × cos(-1.09316550) × R
    0.000191750000000046 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 561.558777647677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09307735)-sin(-1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459754719960895-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.96449042--0.96468217)×7.82830360478437e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82830360478437e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82830360478437e-05×40589641000000     		ar = 315400.313517946m²