Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113528 / 18616
↖ ↑ ↗
← N 77.956999°
E131.813965°		 ← 63.71 m → N 77.956999°
E131.816711°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.956426°
E131.813965°		 ← 63.72 m →
4 059 m²		 N 77.956426°
E131.816711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866153717041016 y=0.142032623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866153717041016 × 217)
    floor (0.866153717041016 × 131072)
    floor (113528.5)     		tx = 113528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142032623291016 × 217)
    floor (0.142032623291016 × 131072)
    floor (18616.5)     		ty = 18616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113528 / 18616 ti = "17/113528/18616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113528/18616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113528 ÷ 217
    113528 ÷ 131072     		x = 0.86614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18616 ÷ 217
    18616 ÷ 131072     		y = 0.14202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86614990234375 × 2 - 1) × π
    0.7322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30058769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14202880859375 × 2 - 1) × π
    0.7159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24919933017303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30058769} λ = 2.30058769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24919933017303))-π/2
    2×atan(9.48014233289835)-π/2
    2×1.46570131896822-π/2
    2.93140263793644-1.57079632675     		φ = 1.36060631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30058769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.813965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36060631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.956999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113528 KachelY 18616 2.30058769 1.36060631 131.813965 77.956999
    Oben rechts KachelX + 1 113529 KachelY 18616 2.30063562 1.36060631 131.816711 77.956999
    Unten links KachelX 113528 KachelY + 1 18617 2.30058769 1.36059631 131.813965 77.956426
    Unten rechts KachelX + 1 113529 KachelY + 1 18617 2.30063562 1.36059631 131.816711 77.956426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36060631-1.36059631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36060631-1.36059631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30058769-2.30063562) × cos(1.36060631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20864573838134 × 6371000     		do = 63.712486223014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30058769-2.30063562) × cos(1.36059631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20865551828377 × 6371000     		du = 63.7154726338731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36060631)-sin(1.36059631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20864573838134-0.20865551828377)×R²
    abs(2.30063562-2.30058769)×9.77990242947979e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.77990242947979e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.77990242947979e-06×40589641000000     		ar = 4059.21762934676m²