Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113527 / 18570
↖ ↑ ↗
← N 77.983332°
E131.811218°		 ← 63.59 m → N 77.983332°
E131.813965°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.982760°
E131.811218°		 ← 63.59 m →
4 043 m²		 N 77.982760°
E131.813965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866146087646484 y=0.141681671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866146087646484 × 217)
    floor (0.866146087646484 × 131072)
    floor (113527.5)     		tx = 113527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141681671142578 × 217)
    floor (0.141681671142578 × 131072)
    floor (18570.5)     		ty = 18570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113527 / 18570 ti = "17/113527/18570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113527/18570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113527 ÷ 217
    113527 ÷ 131072     		x = 0.866142272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18570 ÷ 217
    18570 ÷ 131072     		y = 0.141677856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866142272949219 × 2 - 1) × π
    0.732284545898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.30053975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141677856445312 × 2 - 1) × π
    0.716644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25140442755556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30053975} λ = 2.30053975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25140442755556))-π/2
    2×atan(9.50107003527343)-π/2
    2×1.46593111317243-π/2
    2.93186222634486-1.57079632675     		φ = 1.36106590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30053975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.811218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36106590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.983332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113527 KachelY 18570 2.30053975 1.36106590 131.811218 77.983332
    Oben rechts KachelX + 1 113528 KachelY 18570 2.30058769 1.36106590 131.813965 77.983332
    Unten links KachelX 113527 KachelY + 1 18571 2.30053975 1.36105592 131.811218 77.982760
    Unten rechts KachelX + 1 113528 KachelY + 1 18571 2.30058769 1.36105592 131.813965 77.982760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36106590-1.36105592) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36106590-1.36105592) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30053975-2.30058769) × cos(1.36106590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20819624134656 × 6371000     		do = 63.5884910784499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30053975-2.30058769) × cos(1.36105592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208206002645194 × 6371000     		du = 63.5914724303086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36106590)-sin(1.36105592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20819624134656-0.208206002645194)×R²
    abs(2.30058769-2.30053975)×9.76129863400343e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.76129863400343e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.76129863400343e-06×40589641000000     		ar = 4043.21510210555m²