Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113518 / 18544
↖ ↑ ↗
← N 77.998190°
E131.786499°		 ← 63.50 m → N 77.998190°
E131.789245°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.997619°
E131.786499°		 ← 63.50 m →
4 033 m²		 N 77.997619°
E131.789245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866077423095703 y=0.141483306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866077423095703 × 217)
    floor (0.866077423095703 × 131072)
    floor (113518.5)     		tx = 113518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141483306884766 × 217)
    floor (0.141483306884766 × 131072)
    floor (18544.5)     		ty = 18544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113518 / 18544 ti = "17/113518/18544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113518/18544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113518 ÷ 217
    113518 ÷ 131072     		x = 0.866073608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18544 ÷ 217
    18544 ÷ 131072     		y = 0.1414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866073608398438 × 2 - 1) × π
    0.732147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30010832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1414794921875 × 2 - 1) × π
    0.717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25265078694568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30010832} λ = 2.30010832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25265078694568))-π/2
    2×atan(9.51291916573172)-π/2
    2×1.46606077779169-π/2
    2.93212155558338-1.57079632675     		φ = 1.36132523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30010832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.786499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36132523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.998190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113518 KachelY 18544 2.30010832 1.36132523 131.786499 77.998190
    Oben rechts KachelX + 1 113519 KachelY 18544 2.30015625 1.36132523 131.789245 77.998190
    Unten links KachelX 113518 KachelY + 1 18545 2.30010832 1.36131526 131.786499 77.997619
    Unten rechts KachelX + 1 113519 KachelY + 1 18545 2.30015625 1.36131526 131.789245 77.997619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36132523-1.36131526) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36132523-1.36131526) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30010832-2.30015625) × cos(1.36132523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207942587027589 × 6371000     		do = 63.4977704982352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30010832-2.30015625) × cos(1.36131526) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207952339083354 × 6371000     		du = 63.5007484057801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36132523)-sin(1.36131526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207942587027589-0.207952339083354)×R²
    abs(2.30015625-2.30010832)×9.75205576433935e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.75205576433935e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.75205576433935e-06×40589641000000     		ar = 4033.40120632393m²