Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11351 / 23716
↖ ↑ ↗
← S 62.451406°
W 55.294189°		 ← 564.98 m → S 62.451406°
W 55.283203°		 →
↑
564.92 m
↓
↑
564.92 m
↓
S 62.456487°
W 55.294189°		 ← 564.88 m →
319 139 m²		 S 62.456487°
W 55.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346420288085938 y=0.723770141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346420288085938 × 215)
    floor (0.346420288085938 × 32768)
    floor (11351.5)     		tx = 11351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723770141601562 × 215)
    floor (0.723770141601562 × 32768)
    floor (23716.5)     		ty = 23716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11351 / 23716 ti = "15/11351/23716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11351/23716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11351 ÷ 215
    11351 ÷ 32768     		x = 0.346405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23716 ÷ 215
    23716 ÷ 32768     		y = 0.7237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.30718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96506566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96506566} λ = -0.96506566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40589339205701))-π/2
    2×atan(0.245147945364267)-π/2
    2×0.24040683581447-π/2
    0.480813671628939-1.57079632675     		φ = -1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96506566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11351 KachelY 23716 -0.96506566 -1.08998266 -55.294189 -62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 11352 KachelY 23716 -0.96487392 -1.08998266 -55.283203 -62.451406
    Unten links KachelX 11351 KachelY + 1 23717 -0.96506566 -1.09007133 -55.294189 -62.456487
    Unten rechts KachelX + 1 11352 KachelY + 1 23717 -0.96487392 -1.09007133 -55.283203 -62.456487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08998266--1.09007133) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dl = 564.916570000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08998266--1.09007133) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dr = 564.916570000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96506566--0.96487392) × cos(-1.08998266) × R
    0.000191739999999996 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 564.979592335422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96506566--0.96487392) × cos(-1.09007133) × R
    0.000191739999999996 × 0.462422122600991 × 6371000     		du = 564.88355412424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08998266)-sin(-1.09007133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462422122600991)×R²
    abs(-0.96487392--0.96506566)×7.86183154763975e-05×R²
    0.000191739999999996×7.86183154763975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.86183154763975e-05×40589641000000     		ar = 319139.206842715m²