Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113500 / 18604
↖ ↑ ↗
← N 77.963874°
E131.737060°		 ← 63.69 m → N 77.963874°
E131.739807°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.963301°
E131.737060°		 ← 63.69 m →
4 058 m²		 N 77.963301°
E131.739807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865940093994141 y=0.141941070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865940093994141 × 217)
    floor (0.865940093994141 × 131072)
    floor (113500.5)     		tx = 113500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141941070556641 × 217)
    floor (0.141941070556641 × 131072)
    floor (18604.5)     		ty = 18604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113500 / 18604 ti = "17/113500/18604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113500/18604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113500 ÷ 217
    113500 ÷ 131072     		x = 0.865936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18604 ÷ 217
    18604 ÷ 131072     		y = 0.141937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865936279296875 × 2 - 1) × π
    0.73187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29924545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141937255859375 × 2 - 1) × π
    0.71612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24977457296848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29924545} λ = 2.29924545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24977457296848))-π/2
    2×atan(9.48559728528571)-π/2
    2×1.46576131306926-π/2
    2.93152262613852-1.57079632675     		φ = 1.36072630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29924545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.737060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36072630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.963874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113500 KachelY 18604 2.29924545 1.36072630 131.737060 77.963874
    Oben rechts KachelX + 1 113501 KachelY 18604 2.29929339 1.36072630 131.739807 77.963874
    Unten links KachelX 113500 KachelY + 1 18605 2.29924545 1.36071630 131.737060 77.963301
    Unten rechts KachelX + 1 113501 KachelY + 1 18605 2.29929339 1.36071630 131.739807 77.963301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36072630-1.36071630) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36072630-1.36071630) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29924545-2.29929339) × cos(1.36072630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208528387705194 × 6371000     		do = 63.6899371258239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29924545-2.29929339) × cos(1.36071630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208538167857913 × 6371000     		du = 63.6929242362054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36072630)-sin(1.36071630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208528387705194-0.208538167857913)×R²
    abs(2.29929339-2.29924545)×9.78015271896338e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.78015271896338e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.78015271896338e-06×40589641000000     		ar = 4057.7810486384m²