Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1135 / 3212
↖ ↑ ↗
← S 70.959697°
W 80.244141°		 ← 3 188.27 m → S 70.959697°
W 80.156250°		 →
↑
3 185.95 m
↓
↑
3 185.95 m
↓
S 70.988349°
W 80.244141°		 ← 3 183.65 m →
10 150 304 m²		 S 70.988349°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2772216796875 y=0.7843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2772216796875 × 212)
    floor (0.2772216796875 × 4096)
    floor (1135.5)     		tx = 1135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7843017578125 × 212)
    floor (0.7843017578125 × 4096)
    floor (3212.5)     		ty = 3212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1135 / 3212 ti = "12/1135/3212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1135/3212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1135 ÷ 212
    1135 ÷ 4096     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3212 ÷ 212
    3212 ÷ 4096     		y = 0.7841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    -0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78555363704785))-π/2
    2×atan(0.167704188042023)-π/2
    2×0.166157987515839-π/2
    0.332315975031677-1.57079632675     		φ = -1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1135 KachelY 3212 -1.40052446 -1.23848035 -80.244141 -70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 1136 KachelY 3212 -1.39899048 -1.23848035 -80.156250 -70.959697
    Unten links KachelX 1135 KachelY + 1 3213 -1.40052446 -1.23898042 -80.244141 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 1136 KachelY + 1 3213 -1.39899048 -1.23898042 -80.156250 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23848035--1.23898042) × R
    0.000500070000000186 × 6371000     		dl = 3185.94597000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23848035--1.23898042) × R
    0.000500070000000186 × 6371000     		dr = 3185.94597000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.39899048) × cos(-1.23848035) × R
    0.00153398000000005 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 3188.27238755782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.39899048) × cos(-1.23898042) × R
    0.00153398000000005 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 3183.65219245118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23848035)-sin(-1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.325760417901964)×R²
    abs(-1.39899048--1.40052446)×0.000472751606565625×R²
    0.00153398000000005×0.000472751606565625×6371000²
    0.00153398000000005×0.000472751606565625×40589641000000     		ar = 10150303.9299438m²