Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1135 / 3210
↖ ↑ ↗
← S 70.902268°
W 80.244141°		 ← 3 197.53 m → S 70.902268°
W 80.156250°		 →
↑
3 195.18 m
↓
↑
3 195.18 m
↓
S 70.931003°
W 80.244141°		 ← 3 192.90 m →
10 209 298 m²		 S 70.931003°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2772216796875 y=0.7838134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2772216796875 × 212)
    floor (0.2772216796875 × 4096)
    floor (1135.5)     		tx = 1135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7838134765625 × 212)
    floor (0.7838134765625 × 4096)
    floor (3210.5)     		ty = 3210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1135 / 3210 ti = "12/1135/3210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1135/3210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1135 ÷ 212
    1135 ÷ 4096     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3210 ÷ 212
    3210 ÷ 4096     		y = 0.78369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78248567547217))-π/2
    2×atan(0.168219488103227)-π/2
    2×0.166659149205025-π/2
    0.333318298410049-1.57079632675     		φ = -1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1135 KachelY 3210 -1.40052446 -1.23747803 -80.244141 -70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 1136 KachelY 3210 -1.39899048 -1.23747803 -80.156250 -70.902268
    Unten links KachelX 1135 KachelY + 1 3211 -1.40052446 -1.23797955 -80.244141 -70.931003
    Unten rechts KachelX + 1 1136 KachelY + 1 3211 -1.39899048 -1.23797955 -80.156250 -70.931003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23747803--1.23797955) × R
    0.000501520000000033 × 6371000     		dl = 3195.18392000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23747803--1.23797955) × R
    0.000501520000000033 × 6371000     		dr = 3195.18392000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.39899048) × cos(-1.23747803) × R
    0.00153398000000005 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 3197.5305172669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.39899048) × cos(-1.23797955) × R
    0.00153398000000005 × 0.326706529475913 × 6371000     		du = 3192.89852816657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23747803)-sin(-1.23797955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.326706529475913)×R²
    abs(-1.39899048--1.40052446)×0.000473958401806696×R²
    0.00153398000000005×0.000473958401806696×6371000²
    0.00153398000000005×0.000473958401806696×40589641000000     		ar = 10209298.2779218m²