Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113499 / 18603
N 77.964447°
E131.734314°
← 63.67 m → N 77.964447°
E131.737060°

63.71 m

63.71 m
N 77.963874°
E131.734314°
← 63.68 m →
4 057 m²
N 77.963874°
E131.737060°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865932464599609 y=0.141933441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865932464599609 × 217)
    floor (0.865932464599609 × 131072)
    floor (113499.5)
    tx = 113499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141933441162109 × 217)
    floor (0.141933441162109 × 131072)
    floor (18603.5)
    ty = 18603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113499 / 18603 ti = "17/113499/18603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113499/18603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113499 ÷ 217
    113499 ÷ 131072
    x = 0.865928649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18603 ÷ 217
    18603 ÷ 131072
    y = 0.141929626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.865928649902344 × 2 - 1) × π
    0.731857299804688 × 3.1415926535
    Λ = 2.29919752
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.141929626464844 × 2 - 1) × π
    0.716140747070312 × 3.1415926535
    Φ = 2.2498225098681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29919752} λ = 2.29919752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2498225098681))-π/2
    2×atan(9.48605200630948)-π/2
    2×1.46576631105431-π/2
    2.93153262210862-1.57079632675
    φ = 1.36073630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29919752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.734314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36073630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.964447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113499 KachelY 18603 2.29919752 1.36073630 131.734314 77.964447
    Oben rechts KachelX + 1 113500 KachelY 18603 2.29924545 1.36073630 131.737060 77.964447
    Unten links KachelX 113499 KachelY + 1 18604 2.29919752 1.36072630 131.734314 77.963874
    Unten rechts KachelX + 1 113500 KachelY + 1 18604 2.29924545 1.36072630 131.737060 77.963874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.36073630-1.36072630) × R
    9.99999999984347e-06 × 6371000
    dl = 63.7099999990027m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.36073630-1.36072630) × R
    9.99999999984347e-06 × 6371000
    dr = 63.7099999990027m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.29919752-2.29924545) × cos(1.36073630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208518607531622 × 6371000
    do = 63.6736652886684m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.29919752-2.29924545) × cos(1.36072630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208528387705194 × 6371000
    du = 63.676651782324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.36073630)-sin(1.36072630))×
    abs(λ12)×abs(0.208518607531622-0.208528387705194)×
    abs(2.29924545-2.29919752)×9.78017357158856e-06×
    4.79300000000293e-05×9.78017357158856e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.78017357158856e-06×40589641000000
    ar = 4056.74435041632m²