Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113496 / 18680
↖ ↑ ↗
← N 77.920268°
E131.726074°		 ← 63.90 m → N 77.920268°
E131.728821°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.919693°
E131.726074°		 ← 63.91 m →
4 084 m²		 N 77.919693°
E131.728821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865909576416016 y=0.142520904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865909576416016 × 217)
    floor (0.865909576416016 × 131072)
    floor (113496.5)     		tx = 113496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142520904541016 × 217)
    floor (0.142520904541016 × 131072)
    floor (18680.5)     		ty = 18680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113496 / 18680 ti = "17/113496/18680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113496/18680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113496 ÷ 217
    113496 ÷ 131072     		x = 0.86590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18680 ÷ 217
    18680 ÷ 131072     		y = 0.14251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29905371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14251708984375 × 2 - 1) × π
    0.7149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24613136859735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29905371} λ = 2.29905371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24613136859735))-π/2
    2×atan(9.45110219028794)-π/2
    2×1.46538077979895-π/2
    2.9307615595979-1.57079632675     		φ = 1.35996523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29905371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35996523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.920268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113496 KachelY 18680 2.29905371 1.35996523 131.726074 77.920268
    Oben rechts KachelX + 1 113497 KachelY 18680 2.29910164 1.35996523 131.728821 77.920268
    Unten links KachelX 113496 KachelY + 1 18681 2.29905371 1.35995520 131.726074 77.919693
    Unten rechts KachelX + 1 113497 KachelY + 1 18681 2.29910164 1.35995520 131.728821 77.919693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35996523-1.35995520) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dl = 63.9011300006704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35996523-1.35995520) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dr = 63.9011300006704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29905371-2.29910164) × cos(1.35996523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209272666117159 × 6371000     		do = 63.9039261490871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29905371-2.29910164) × cos(1.35995520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209282474015619 × 6371000     		du = 63.9069211088707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35996523)-sin(1.35995520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209272666117159-0.209282474015619)×R²
    abs(2.29910164-2.29905371)×9.80789845939078e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.80789845939078e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.80789845939078e-06×40589641000000     		ar = 4083.6287831168m²