Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113494 / 18574
↖ ↑ ↗
← N 77.981044°
E131.720581°		 ← 63.60 m → N 77.981044°
E131.723328°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.980472°
E131.720581°		 ← 63.60 m →
4 044 m²		 N 77.980472°
E131.723328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865894317626953 y=0.141712188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865894317626953 × 217)
    floor (0.865894317626953 × 131072)
    floor (113494.5)     		tx = 113494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141712188720703 × 217)
    floor (0.141712188720703 × 131072)
    floor (18574.5)     		ty = 18574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113494 / 18574 ti = "17/113494/18574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113494/18574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113494 ÷ 217
    113494 ÷ 131072     		x = 0.865890502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18574 ÷ 217
    18574 ÷ 131072     		y = 0.141708374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865890502929688 × 2 - 1) × π
    0.731781005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29895783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141708374023438 × 2 - 1) × π
    0.716583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25121267995708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29895783} λ = 2.29895783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25121267995708))-π/2
    2×atan(9.49924840256361)-π/2
    2×1.46591115073587-π/2
    2.93182230147174-1.57079632675     		φ = 1.36102597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29895783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.720581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36102597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.981044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113494 KachelY 18574 2.29895783 1.36102597 131.720581 77.981044
    Oben rechts KachelX + 1 113495 KachelY 18574 2.29900577 1.36102597 131.723328 77.981044
    Unten links KachelX 113494 KachelY + 1 18575 2.29895783 1.36101599 131.720581 77.980472
    Unten rechts KachelX + 1 113495 KachelY + 1 18575 2.29900577 1.36101599 131.723328 77.980472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36102597-1.36101599) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36102597-1.36101599) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29895783-2.29900577) × cos(1.36102597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208235296197455 × 6371000     		do = 63.6004194351853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29895783-2.29900577) × cos(1.36101599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208245057413113 × 6371000     		du = 63.6034007617009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36102597)-sin(1.36101599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208235296197455-0.208245057413113)×R²
    abs(2.29900577-2.29895783)×9.7612156577942e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7612156577942e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7612156577942e-06×40589641000000     		ar = 4043.97353699347m²