Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113493 / 19431
↖ ↑ ↗
← N 77.480921°
E131.717835°		 ← 66.19 m → N 77.480921°
E131.720581°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.480326°
E131.717835°		 ← 66.19 m →
4 382 m²		 N 77.480326°
E131.720581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865886688232422 y=0.148250579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865886688232422 × 217)
    floor (0.865886688232422 × 131072)
    floor (113493.5)     		tx = 113493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148250579833984 × 217)
    floor (0.148250579833984 × 131072)
    floor (19431.5)     		ty = 19431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113493 / 19431 ti = "17/113493/19431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113493/19431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113493 ÷ 217
    113493 ÷ 131072     		x = 0.865882873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19431 ÷ 217
    19431 ÷ 131072     		y = 0.148246765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865882873535156 × 2 - 1) × π
    0.731765747070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.29890990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148246765136719 × 2 - 1) × π
    0.703506469726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21013075698269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29890990} λ = 2.29890990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21013075698269))-π/2
    2×atan(9.11690841454178)-π/2
    2×1.46154675492454-π/2
    2.92309350984907-1.57079632675     		φ = 1.35229718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29890990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.717835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35229718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.480921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113493 KachelY 19431 2.29890990 1.35229718 131.717835 77.480921
    Oben rechts KachelX + 1 113494 KachelY 19431 2.29895783 1.35229718 131.720581 77.480921
    Unten links KachelX 113493 KachelY + 1 19432 2.29890990 1.35228679 131.717835 77.480326
    Unten rechts KachelX + 1 113494 KachelY + 1 19432 2.29895783 1.35228679 131.720581 77.480326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35229718-1.35228679) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dl = 66.1946900008779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35229718-1.35228679) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dr = 66.1946900008779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29890990-2.29895783) × cos(1.35229718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216764699028417 × 6371000     		do = 66.1917085276971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29890990-2.29895783) × cos(1.35228679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216774841982838 × 6371000     		du = 66.1948058008491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35229718)-sin(1.35228679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216764699028417-0.216774841982838)×R²
    abs(2.29895783-2.29890990)×1.01429544203668e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01429544203668e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01429544203668e-05×40589641000000     		ar = 4381.64213819324m²