Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113490 / 18677
↖ ↑ ↗
← N 77.921993°
E131.709594°		 ← 63.91 m → N 77.921993°
E131.712341°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.921418°
E131.709594°		 ← 63.91 m →
4 084 m²		 N 77.921418°
E131.712341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865863800048828 y=0.142498016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865863800048828 × 217)
    floor (0.865863800048828 × 131072)
    floor (113490.5)     		tx = 113490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142498016357422 × 217)
    floor (0.142498016357422 × 131072)
    floor (18677.5)     		ty = 18677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113490 / 18677 ti = "17/113490/18677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113490/18677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113490 ÷ 217
    113490 ÷ 131072     		x = 0.865859985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18677 ÷ 217
    18677 ÷ 131072     		y = 0.142494201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865859985351562 × 2 - 1) × π
    0.731719970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29876608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142494201660156 × 2 - 1) × π
    0.715011596679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24627517929621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29876608} λ = 2.29876608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24627517929621))-π/2
    2×atan(9.45246145763517)-π/2
    2×1.46539582656492-π/2
    2.93079165312985-1.57079632675     		φ = 1.35999533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29876608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.709594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35999533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.921993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113490 KachelY 18677 2.29876608 1.35999533 131.709594 77.921993
    Oben rechts KachelX + 1 113491 KachelY 18677 2.29881402 1.35999533 131.712341 77.921993
    Unten links KachelX 113490 KachelY + 1 18678 2.29876608 1.35998530 131.709594 77.921418
    Unten rechts KachelX + 1 113491 KachelY + 1 18678 2.29881402 1.35998530 131.712341 77.921418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35999533-1.35998530) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dl = 63.9011300006704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35999533-1.35998530) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dr = 63.9011300006704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29876608-2.29881402) × cos(1.35999533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209243232516831 × 6371000     		do = 63.9082691314033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29876608-2.29881402) × cos(1.35998530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209253040478467 × 6371000     		du = 63.911264735344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35999533)-sin(1.35998530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209243232516831-0.209253040478467)×R²
    abs(2.29881402-2.29876608)×9.80796163646547e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80796163646547e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80796163646547e-06×40589641000000     		ar = 4083.90632509018m²