Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113488 / 18678
↖ ↑ ↗
← N 77.921418°
E131.704102°		 ← 63.91 m → N 77.921418°
E131.706848°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.920843°
E131.704102°		 ← 63.91 m →
4 088 m²		 N 77.920843°
E131.706848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865848541259766 y=0.142505645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865848541259766 × 217)
    floor (0.865848541259766 × 131072)
    floor (113488.5)     		tx = 113488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142505645751953 × 217)
    floor (0.142505645751953 × 131072)
    floor (18678.5)     		ty = 18678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113488 / 18678 ti = "17/113488/18678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113488/18678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113488 ÷ 217
    113488 ÷ 131072     		x = 0.8658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18678 ÷ 217
    18678 ÷ 131072     		y = 0.142501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8658447265625 × 2 - 1) × π
    0.731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29867021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142501831054688 × 2 - 1) × π
    0.714996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24622724239659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29867021} λ = 2.29867021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24622724239659))-π/2
    2×atan(9.45200834679957)-π/2
    2×1.46539081121137-π/2
    2.93078162242274-1.57079632675     		φ = 1.35998530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29867021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.704102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35998530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.921418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113488 KachelY 18678 2.29867021 1.35998530 131.704102 77.921418
    Oben rechts KachelX + 1 113489 KachelY 18678 2.29871815 1.35998530 131.706848 77.921418
    Unten links KachelX 113488 KachelY + 1 18679 2.29867021 1.35997526 131.704102 77.920843
    Unten rechts KachelX + 1 113489 KachelY + 1 18679 2.29871815 1.35997526 131.706848 77.920843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35998530-1.35997526) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35998530-1.35997526) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29867021-2.29871815) × cos(1.35998530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209253040478467 × 6371000     		do = 63.911264735344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29867021-2.29871815) × cos(1.35997526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209262858197647 × 6371000     		du = 63.9142633194895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35998530)-sin(1.35997526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209253040478467-0.209262858197647)×R²
    abs(2.29871815-2.29867021)×9.81771917962782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81771917962782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81771917962782e-06×40589641000000     		ar = 4088.1697251709m²