Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113485 / 18682
↖ ↑ ↗
← N 77.919119°
E131.695862°		 ← 63.92 m → N 77.919119°
E131.698609°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.918544°
E131.695862°		 ← 63.93 m →
4 085 m²		 N 77.918544°
E131.698609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865825653076172 y=0.142536163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865825653076172 × 217)
    floor (0.865825653076172 × 131072)
    floor (113485.5)     		tx = 113485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142536163330078 × 217)
    floor (0.142536163330078 × 131072)
    floor (18682.5)     		ty = 18682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113485 / 18682 ti = "17/113485/18682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113485/18682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113485 ÷ 217
    113485 ÷ 131072     		x = 0.865821838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18682 ÷ 217
    18682 ÷ 131072     		y = 0.142532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865821838378906 × 2 - 1) × π
    0.731643676757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.29852640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142532348632812 × 2 - 1) × π
    0.714935302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24603549479811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29852640} λ = 2.29852640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24603549479811))-π/2
    2×atan(9.45019612064881)-π/2
    2×1.46537074744603-π/2
    2.93074149489206-1.57079632675     		φ = 1.35994517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29852640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.695862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35994517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.919119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113485 KachelY 18682 2.29852640 1.35994517 131.695862 77.919119
    Oben rechts KachelX + 1 113486 KachelY 18682 2.29857434 1.35994517 131.698609 77.919119
    Unten links KachelX 113485 KachelY + 1 18683 2.29852640 1.35993514 131.695862 77.918544
    Unten rechts KachelX + 1 113486 KachelY + 1 18683 2.29857434 1.35993514 131.698609 77.918544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35994517-1.35993514) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dl = 63.9011300006704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35994517-1.35993514) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dr = 63.9011300006704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29852640-2.29857434) × cos(1.35994517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209292281893024 × 6371000     		do = 63.9232500734235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29852640-2.29857434) × cos(1.35993514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209302089749374 × 6371000     		du = 63.9262456452071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35994517)-sin(1.35993514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209292281893024-0.209302089749374)×R²
    abs(2.29857434-2.29852640)×9.80785635038006e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80785635038006e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80785635038006e-06×40589641000000     		ar = 4084.86362313961m²