Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113483 / 18681
↖ ↑ ↗
← N 77.919693°
E131.690369°		 ← 63.91 m → N 77.919693°
E131.693115°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.919119°
E131.690369°		 ← 63.91 m →
4 084 m²		 N 77.919119°
E131.693115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865810394287109 y=0.142528533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865810394287109 × 217)
    floor (0.865810394287109 × 131072)
    floor (113483.5)     		tx = 113483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142528533935547 × 217)
    floor (0.142528533935547 × 131072)
    floor (18681.5)     		ty = 18681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113483 / 18681 ti = "17/113483/18681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113483/18681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113483 ÷ 217
    113483 ÷ 131072     		x = 0.865806579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18681 ÷ 217
    18681 ÷ 131072     		y = 0.142524719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865806579589844 × 2 - 1) × π
    0.731613159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.29843053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142524719238281 × 2 - 1) × π
    0.714950561523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.24608343169773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29843053} λ = 2.29843053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24608343169773))-π/2
    2×atan(9.45064914460983)-π/2
    2×1.46537576374006-π/2
    2.93075152748011-1.57079632675     		φ = 1.35995520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29843053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.690369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35995520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.919693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113483 KachelY 18681 2.29843053 1.35995520 131.690369 77.919693
    Oben rechts KachelX + 1 113484 KachelY 18681 2.29847846 1.35995520 131.693115 77.919693
    Unten links KachelX 113483 KachelY + 1 18682 2.29843053 1.35994517 131.690369 77.919119
    Unten rechts KachelX + 1 113484 KachelY + 1 18682 2.29847846 1.35994517 131.693115 77.919119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35995520-1.35994517) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dl = 63.9011299992558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35995520-1.35994517) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dr = 63.9011299992558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29843053-2.29847846) × cos(1.35995520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209282474015619 × 6371000     		do = 63.9069211088707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29843053-2.29847846) × cos(1.35994517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209292281893024 × 6371000     		du = 63.9099160622251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35995520)-sin(1.35994517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209282474015619-0.209292281893024)×R²
    abs(2.29847846-2.29843053)×9.80787740517686e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.80787740517686e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.80787740517686e-06×40589641000000     		ar = 4083.8201641704m²