Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113482 / 18674
↖ ↑ ↗
← N 77.923717°
E131.687622°		 ← 63.90 m → N 77.923717°
E131.690369°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.923142°
E131.687622°		 ← 63.90 m →
4 083 m²		 N 77.923142°
E131.690369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865802764892578 y=0.142475128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865802764892578 × 217)
    floor (0.865802764892578 × 131072)
    floor (113482.5)     		tx = 113482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142475128173828 × 217)
    floor (0.142475128173828 × 131072)
    floor (18674.5)     		ty = 18674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113482 / 18674 ti = "17/113482/18674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113482/18674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113482 ÷ 217
    113482 ÷ 131072     		x = 0.865798950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18674 ÷ 217
    18674 ÷ 131072     		y = 0.142471313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865798950195312 × 2 - 1) × π
    0.731597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29838259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142471313476562 × 2 - 1) × π
    0.715057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24641898999507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29838259} λ = 2.29838259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24641898999507))-π/2
    2×atan(9.45382092047365)-π/2
    2×1.46541087121506-π/2
    2.93082174243012-1.57079632675     		φ = 1.36002542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29838259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.687622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36002542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.923717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113482 KachelY 18674 2.29838259 1.36002542 131.687622 77.923717
    Oben rechts KachelX + 1 113483 KachelY 18674 2.29843053 1.36002542 131.690369 77.923717
    Unten links KachelX 113482 KachelY + 1 18675 2.29838259 1.36001539 131.687622 77.923142
    Unten rechts KachelX + 1 113483 KachelY + 1 18675 2.29843053 1.36001539 131.690369 77.923142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36002542-1.36001539) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dl = 63.9011299992558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36002542-1.36001539) × R
    1.00299999998832e-05 × 6371000     		dr = 63.9011299992558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29838259-2.29843053) × cos(1.36002542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209213808505626 × 6371000     		do = 63.8992822810071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29838259-2.29843053) × cos(1.36001539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209223616530409 × 6371000     		du = 63.9022779042345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36002542)-sin(1.36001539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209213808505626-0.209223616530409)×R²
    abs(2.29843053-2.29838259)×9.80802478345311e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.80802478345311e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.80802478345311e-06×40589641000000     		ar = 4083.33205566049m²