Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113481 / 18607
↖ ↑ ↗
← N 77.962156°
E131.684875°		 ← 63.70 m → N 77.962156°
E131.687622°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.961583°
E131.684875°		 ← 63.70 m →
4 058 m²		 N 77.961583°
E131.687622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865795135498047 y=0.141963958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865795135498047 × 217)
    floor (0.865795135498047 × 131072)
    floor (113481.5)     		tx = 113481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141963958740234 × 217)
    floor (0.141963958740234 × 131072)
    floor (18607.5)     		ty = 18607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113481 / 18607 ti = "17/113481/18607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113481/18607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113481 ÷ 217
    113481 ÷ 131072     		x = 0.865791320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18607 ÷ 217
    18607 ÷ 131072     		y = 0.141960144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865791320800781 × 2 - 1) × π
    0.731582641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.29833465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141960144042969 × 2 - 1) × π
    0.716079711914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24963076226962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29833465} λ = 2.29833465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24963076226962))-π/2
    2×atan(9.48423325299458)-π/2
    2×1.46574631770811-π/2
    2.93149263541623-1.57079632675     		φ = 1.36069631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29833465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.684875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36069631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.962156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113481 KachelY 18607 2.29833465 1.36069631 131.684875 77.962156
    Oben rechts KachelX + 1 113482 KachelY 18607 2.29838259 1.36069631 131.687622 77.962156
    Unten links KachelX 113481 KachelY + 1 18608 2.29833465 1.36068631 131.684875 77.961583
    Unten rechts KachelX + 1 113482 KachelY + 1 18608 2.29838259 1.36068631 131.687622 77.961583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36069631-1.36068631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36069631-1.36068631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29833465-2.29838259) × cos(1.36069631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208557718320687 × 6371000     		do = 63.6988954507657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29833465-2.29838259) × cos(1.36068631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208567498410863 × 6371000     		du = 63.7018825420448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36069631)-sin(1.36068631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208557718320687-0.208567498410863)×R²
    abs(2.29838259-2.29833465)×9.78009017543746e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.78009017543746e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.78009017543746e-06×40589641000000     		ar = 4058.35178309266m²