Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11348 / 23781
↖ ↑ ↗
← S 62.779863°
W 55.327149°		 ← 558.79 m → S 62.779863°
W 55.316162°		 →
↑
558.74 m
↓
↑
558.74 m
↓
S 62.784888°
W 55.327149°		 ← 558.70 m →
312 190 m²		 S 62.784888°
W 55.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346328735351562 y=0.725753784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346328735351562 × 215)
    floor (0.346328735351562 × 32768)
    floor (11348.5)     		tx = 11348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725753784179688 × 215)
    floor (0.725753784179688 × 32768)
    floor (23781.5)     		ty = 23781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11348 / 23781 ti = "15/11348/23781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11348/23781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11348 ÷ 215
    11348 ÷ 32768     		x = 0.3463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23781 ÷ 215
    23781 ÷ 32768     		y = 0.725738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96564091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.45147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41835698595822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96564091} λ = -0.96564091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41835698595822))-π/2
    2×atan(0.242111482852553)-π/2
    2×0.237540507200662-π/2
    0.475081014401325-1.57079632675     		φ = -1.09571531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96564091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.327149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09571531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.779863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11348 KachelY 23781 -0.96564091 -1.09571531 -55.327149 -62.779863
    Oben rechts KachelX + 1 11349 KachelY 23781 -0.96544916 -1.09571531 -55.316162 -62.779863
    Unten links KachelX 11348 KachelY + 1 23782 -0.96564091 -1.09580301 -55.327149 -62.784888
    Unten rechts KachelX + 1 11349 KachelY + 1 23782 -0.96544916 -1.09580301 -55.316162 -62.784888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09571531--1.09580301) × R
    8.76999999999128e-05 × 6371000     		dl = 558.736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09571531--1.09580301) × R
    8.76999999999128e-05 × 6371000     		dr = 558.736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96564091--0.96544916) × cos(-1.09571531) × R
    0.000191749999999935 × 0.457410493323986 × 6371000     		do = 558.790612006255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96564091--0.96544916) × cos(-1.09580301) × R
    0.000191749999999935 × 0.457332503843086 × 6371000     		du = 558.695336995301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09571531)-sin(-1.09580301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457410493323986-0.457332503843086)×R²
    abs(-0.96544916--0.96564091)×7.7989480899987e-05×R²
    0.000191749999999935×7.7989480899987e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.7989480899987e-05×40589641000000     		ar = 312190.205919829m²